Лобачевский

— Мы никакой вещи представить себе не можем, не поместив ее где-либо и когда-либо. И потому время и пространство в представлениях вещей есть неизменяемое и общее! — восклицал он. — Кантианцы дурачат вас, господа. В чем будет состоять бытие вещи, когда она сама в себе будет нигде, никогда? Бытие без времени и пространства ничего бы не значило и не могло бы отличаться от ничтожества.

Впервые перед Лобачевским встала во весь рост извечная и таинственная проблема времени и пространства. Это был, возможно, величайший философский вопрос, волновавший умы во все века. На него пытались ответить еще Демокрит, Аристотель и Архимед. Он по наследству перешел к Галилею, Декарту, Копернику, Кеплеру, Ньютону. А разве геометрия не выступает как наука о пространстве, о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела?! Философы и геометры, астрономы и физики каждый по-своему старался разгадать природу времени и пространства. По Ньютону, пространство и время обладают объективным характером, они не зависят от человека и его сознания.

Свои взгляды на пространство и время Лубкин изложил в курсе своих лекций по философии «Начертание метафизики» в двух частях, отпечатанных в университетской типографии. Но, оказывается, имелись, и помимо Лубкина, в России люди, которые восставали против идеализма Канта. Сперва Александр Степанович посоветовал Лобачевскому прочитать «Логику» Кондильяка в переводе профессора кафедры математики Харьковского университета Тимофея Федоровича Осиповского, а затем познакомил с философскими взглядами самого харьковского профессора.

Осиповский был не только математиком, автором одного из лучших учебников — «Курса математики», но и философом. И устно и печатно Осиповский выступал против идеализма, против кантовского учения об априорном характере человеческих представлений о пространстве и времени. Академик Гурьев, с трудами которого Лобачевский уже был хорошо знаком, также решительно отказывался от кантианского априоризма.

Раз навсегда отказался от него и Николай Лобачевский. Он накрепко запомнил слова Гурьева: «Первые познания мы приобретаем посредством чувств наших… Отвлеченная величина есть понятие, полученное человеческим разумом от созерцания тел… Также и понятия «протяженность», «движимость», «поверхность», «линия», «точка» — свойства естественных тел».

Лобачевскому не было и двадцати двух, когда его возвели в звание адъюнкта (доцента). Из помощника профессора он превратился официально в преподавателя университета; его освободили от чтения элементарных предметов чиновникам. Теперь он читает студентам по своим тетрадям, по Гауссу, Лежандру, Монжу и Лакруа ответственные курсы: алгебру, геометрию, плоскую и сферическую тригонометрию, теорию чисел, дифференциальное и интегральное исчисления.

Существует еще и скрытая сторона его жизни. Он пытается совершить то, чего не смогли сделать математики всех стран мира за две тысячи лет со времен Эвклида: доказать одну из аксиом, или постулат, содержащийся в знаменитых «Началах». Этот постулат о параллельных линиях, или же пятый постулат, — такой же крепкий орешек, как и задача о квадратуре круга, и многие великие математики обломали на нем зубы. Посидоний, Птолемей, Прокл, Декарт, Валлис, Лейбниц, Даламбер, Ламберт, Клавий, Ампер, Лагранж, Фурье, Бертран, Лежандр, азербайджанский математик XIII века Насирэддин Туси, Омар Хайям, Ибн-аль-Хайтам тщетно старались пролить свет на это «темное пятно в теории параллельных линий».

Постулат — значит отправное (исходное) положение, которое в геометрии принимается без доказательства, непререкаемая истина. Иногда постулаты называют аксиомами. Они основываются не на логике, а на других источниках познания.

Геометрия в «Началах» Эвклида изложена способом, который называется аксиоматическим методом построения теории. Сперва перечисляются исходные понятия — точка, линия, прямая, поверхность, угол и т. д.; затем приводятся основные предложения — аксиомы, служащие логическим фундаментом всего здания геометрии. Из исходных понятий с помощью определений образуются новые понятия. Геометрия — наука дедуктивная. Путем логического вывода из аксиом и определений доказывают последовательно новые предложения — теоремы.

Постулаты и аксиомы составляют в совокупности систему аксиом Эвклида. «Начала», состоящие из тринадцати книг, всегда поражали математиков силой логической концепции, во все века признавались самым незыблемым творением научной мысли, казались безупречными. Английский геометр Де Морган писал по этому поводу: «Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана Эвклида; и до тех пор, пока я этого не увижу собственными глазами, я не поверю, что такая система может существовать». Эвклид строго разделил положения геометрии на доказываемые и недоказываемые и выделил пять постулатов, которые, по его мнению, являются недоказуемыми, но исходя из которых можно доказать все остальные положения геометрии.

Но во всей этой логически стройной, казалось бы, безупречной системе имелась закавыка, лишавшая математиков покоя на протяжении двадцати веков, — постулат о параллельных линиях.

Этот постулат стоит в «Началах» Эвклида как-го особняком. Сформулирован он тяжеловесно, невнятно, сложнее, чем остальные. Его называли «странным», «загадочным». Будто кто-то с другой планеты или же с мифической Атлантиды, более умудренный, знающий нечто неведомое древним грекам, продиктовал аксиому великому геометру, а Эвклид остановился перед ней в недоумении, но, поразмыслив, все-таки внес в свои «Начала», глубоко, однако, сомневаясь в том, является ли пятый постулат в самом деле постулатом или он — доказуемая теорема. Ведь «Начала» — результат труда не столько самого Эвклида, сколько его предшественников. Эвклид привел в стройную систему все то, что существовало до него, поднял огромный пласт греческой геометрии.

Пятый постулат Эвклида в «Началах» сформулирован так: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, — то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Этот постулат лежит в основе учения о параллельных прямых. Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, как далеко бы мы их ни продолжали.

Приняв пятый постулат за непогрешимую истину, за аксиому, можно доказать, что к прямой через точку, лежащую вне ее, всегда можно провести одну, и только одну, параллельную.

Но является ли пятый постулат аксиомой — истиной, не требующей доказательств? И в самом ли деле через точку, взятую вне прямой, можно провести лишь одну-единственную параллельную этой прямой? Казалось бы, стоит лишь взглянуть на чертеж — и все ясно. Однако геометрия — наука строгая, она мало верит наглядности, непосредственному впечатлению, зрительным ощущениям. Чертеж — всего-навсего иллюстрация, а не способ доказательства.

Есть в «Началах» аксиомы, настолько очевидные, что они в самом деле не вызывают никаких сомнений, например: «целое больше части», «через всякие две различные точки проходит одна, и только одна, прямая», «равные порознь третьему, равны между собой». Пятый постулат лишен подобной очевидности. Еще древним грекам казалось, что положение о параллельных есть теорема, а не аксиома, и ее следует доказать на основе других аксиом и постулатов. Решили, что пятый постулат попал в число аксиом не потому, что его нельзя доказать, а лишь потому, что сам Эвклид не смог найти доказательства. Он оставил эту работу другим математикам.

Нужно раз навсегда определить, что же такое пятый постулат, является ли он логически необходимым следствием остальных. Это следует сделать хотя бы потому, что пятый постулат занимает особое место в геометрии, он как бы делит ее на две части: на «абсолютную» геометрию, которая в своих доказательствах легко обходится без пятого постулата — ей он просто не нужен, и на «собственно эвклидову», где пятый постулат является основой основ, на нем держатся многие теоремы. Не только теория параллельных, но и тригонометрия, подобие фигур и т. д. Пятый постулат — это фундамент. А фундамент должен быть прочным.