Страница 10 из 18
Б-пространство — типичный пример Плоскомирской привычки воплощать метафоры в реальность. В данном случае роль метафоры играет так называемое «фазовое пространство», идея которого была предложена французским математиком Анри Пуанкаре примерно сто лет тому назад в целях использования геометрических рассуждения для изучения динамических систем. В настоящее время метаформа Пуанкаре проникла во все области науки и, возможно, даже за ее пределы. В нашей истории о влиянии рассказия над ход эволюции разума она тоже окажется довольно полезной.
Пуанкаре был стереотипным рассеянным ученым — хотя, если подумать, его разум просто «витал где-то еще», а точнее, в мире математики, и его можно понять. Пуанкаре был, вероятно, наиболее одаренным математиком девятнадцатого века. Обладая таким интеллектом, вы бы тоже проводили большую часть времени за пределами реального мира, наслаждаясь красотой математической Вселенной.
Пуанкаре оставил след практически во всех областях математики и написал несколько научно-популярных книг, ставших бестселлерами. В одном из своих исследований, где он самостоятельно заложил основы нового «качественного» подхода к изучению динамики, Пункаре отметил, что при изучении физической системы, способной существовать во множестве различных состояний, имеет смысл рассматривать не только то состояние, в котором она находится в данный момент, но еще и состояния, в которых она могла оказаться, но не оказалась. Тем самым мы создаем контекст, позволяющий понять, что именно происходит с системой, и почему это так. Этот контекст и есть «фазовое пространство» системы. Любое из возможных состояний можно считать точкой фазового пространства. С течением времени состояние изменяется, и точка вычерчивает некоторую кривую, или траекторию системы. Правило, согласно которому строится траектория, называется динамикой системы. Во многих областях физики динамика полностью определена заранее, но приведенную терминологию можно расширить и на те случаи, когда правило подразумевает выбор из нескольких возможностей. Подходящим примером будет игра. В этом случае фазовое пространство состоит из возможных позиций, динамика представлена правилами игры, а траектория — это допустимая последовательность ходов, сделанных игроками.
Для нас важно не столько точное определение фазовых пространств и сопутствующих терминов, сколько формируемый ими взгляд на вещи. Например, вы могли бы задаться вопросом, почему в отсутствие ветра и прочих воздействий поверхность воды в луже остается плоской. Она просто стоит на месте и ничего не делает. Но если вы спросите: «А что бы произошло, если бы поверхность не была плоской?», то сразу же сдвинетесь с мертвой точки. Например, почему нельзя сделать из воды «горку» в центре лужи? Что ж, предположим, что мы это сделали. Предположим, что мы способны контролировать положение каждой молекулы воды, смогли собрать из них горку и каким-то чудесным образом удерживаем все молекулы там, куда мы их поместили. А потом мы их «отпускам». Что произойдет дальше? Масса воды обрушится вниз, и после нескольких всплесков поверхность примет замечательную плоскую форму, к который мы так привыкли. А если придать воде форму с большим углублением посередине? Как только вы предоставите ее самой себе, вода начнет перемещаться от краев к центру, и углубление будет заполнено.
С математической точки зрения эту идею можно формально представить в виде пространства всех возможных форм, которые способна принять поверхность воды. Говоря о «возможных» формах, мы не имеем в виду физическую возможность: в реальном мире поверхность воды в отсутствие каких-либо возмущений всегда будет плоской. Здесь мы имеем в виду «концептуальную возможность». Итак, мы можем представить пространство всех возможных форм водной поверхности в виде простого математического объекта — это и будет фазовое пространство нашей задачи. Каждая «точка», или местоположение, в этом пространстве соответствует потенциально возможной форме. И лишь одна из таких точек, или состояний, соответствует плоской поверхности.
Теперь, когда мы определили подходящее фазовое пространство, следующий шаг — понять динамику систему: каким образом естественное течение воды в условиях гравитации влияет на возможную форму поверхности воды. В данном случае для решения задачи достаточно знать один простой принцип: вода движется так, чтобы свести свою энергию к минимуму. Если придать воде определенную форму — например, в виде выпуклой «горки», а затем предоставить ее самой себе, то поверхность будет двигаться вниз, в направлении «градиента энергии», пока ее энергия не достигнет минимума. Далее (после нескольких всплесков, которые постепенно исчезнут под действием трения) она успокоится и будет оставаться в этом состоянии минимальной энергии.
В данном случае мы имеем в виду «потенциальную энергию», зависящую от гравитации. Потенциальная энергия некоторой массы воды определяется произведением ее массы и высоты над некоторым фиксированным уровнем. Предположим, что поверхность воды отличается от плоской. Тогда некоторые ее части будут находиться выше других. Следовательно, мы можем перенести некоторое количество воды с более высокого уровня на более низкий, разглаживая выпуклости и заполняя углубления. В результате вода движется вниз, и ее общая энергия уменьшается. Вывод: если поверхность воды не плоская, то энергия больше минимальной. Или, другими словами, конфигурация с минимальной энергией достигается, когда поверхность воды плоская.
Еще один пример — это форма мыльного пузыря. Почему она похожа на шар? Чтобы ответить на этот вопрос, можно сравнить настоящую круглую форму пузыря с гипотетической не-круглой формой. В чем разница? Конечно, альтернативная форма не похожа на шар, но, может быть, есть и менее очевидные различия? Согласно древнегреческой легенде, Дидоне было предложено такое количество земли, которое можно окружить воловьей шкурой. Дидона вырезала из шкуры очень длинную тонкую ленточку и расположила ее в форме круга. На этом месте она основала город Карфаген. Почему она выбрала именно круг? Потому что среди всех фигур с заданным периметром круг имеет наибольшую площадь. Точно так же сфера при заданной площади поверхности заключает внутри себя максимально возможный объем, или, иначе говоря, это форма, которая при фиксированном объеме имеет наименьшую площадь поверхности. Мыльный пузырь содержит фиксированный объем воздуха, а площадь его поверхности определяет энергию мыльной пленки, вызванную поверхностным натяжением. В пространстве всех возможных форм пузырей сфера обладает наименьшей энергией. Все остальные формы исключаются, так как их энергия больше минимальной.
Возможно, пузыри не кажутся вам такими уж важными. Однако тот же самый принцип объясняет форму Круглого Мира (в смысле планеты, а не Вселенной, хотя к последней это, возможно, также относится). Когда наша планета представляла из себя расплавленную массу горных пород, она приняла сферическую форму, потому что в таком состоянии ее энергия была минимальной. По той же причине тяжелые вещества, вроде железа, погрузились в ядро, а легкие — например, материки и воздух, всплыли на поверхность. Конечно же, форма Круглого Мира отличается от сферы, потому что он находится во вращении, и центробежная сила приводит к утолщению планеты в районе экватора. Но величина этого утолщения составляет всего лишь треть процента. И для жидкой массы, вращающейся со скоростью, равной скорости вращения Земли в момент ее затвердевания, подобная сплюснутая форма представляет собой конфигурацию с минимальной энергией.
С точки зрения целей нашей книги важны не столько описанные выше физические явления, сколько применение фазовых пространств с позиции «А что, если…». Обсуждая форму воды, мы почти не обращали внимания на плоскую поверхность, которую в конечном счете и пытались объяснить. Все наши рассуждения опирались на искривленные поверхности с выпуклостями и углублениями, а также гипотетическое перемещение воды из одного места в другое. Наше объяснение практически полностью состояло из рассуждений о том, чего не бывает на самом деле. И лишь в конце, исключив из рассмотрения все искривленные поверхности, мы увидели единственную оставшуюся возможность, которая описывает настоящее поведение воды. То же самое касается и мыльных пузырей.