Риторическая теория числа

Появляются невычислимые функции, неразрешимые алгоритмические проблемы, оные можно классифицировать по сложности разрешения, конструровать неразрешимые проблемы с заранее заданной сложностью разрешения. Сложность разрешения неразрешимой проблемы можно интерпретировать как количественную оценку Божьей помощи (в литературе использовался термин «оракул»), необходимой для разрешения ограниченного варианта проблемы. Скажем, есть алгоритм с одним числовым параметром и мы пытаемся узнать, на каких числах он зациклится. Есть алгоритмы, для которых это сделать невозможно (таковые, например, легко строятся из интерпретаторов языков программирования). Для решения задачи для всех входных чисел меньше N потребуется «Божья» подсказка одной длины, для чисел меньше М (М > M) — другой. Получаемая функция и называется сложностью разрешения неразрешимой проблемы. Можно также количественно исследовать универсальность Божьей помощи — предположим Бог помогает нам подсказками для решения одной неразрешимой проблемы, помогут ли они (если да, то насколько) при решении другой неразрешимой проблемы. Ладно, это уже теория алгоритмов. По жизни мне приятно считать, что конструктивная логика отражает неоднозначность операции отрицания (помните в диалектике закон отрицания отрицания).

Конструктивная математика, кроме распознавания неосуществимости (невычислимости) объектов, интересна еще тем, что разрешает оперировать лишь со счетным множеством объектов (поскольку счетно множество всех конечных текстов), но достаточна для полного описания областей математики, в которых количество объектов традиционно считается несчетным. Например, конструктивное действительное число задается парой алгоритмов и потому их количество счетно. Несчетности классических действительных чисел в конструктивной математике соответствует «неперечислимость» конструктивных действительных чисел — невозможность построения алгоритма, который по параметру N будет выдавать какое-то действительное число и когда-нибудь, при каком-то N, выдаст каждое действительное число. Это невозможно, даже если разрешить выдавать действительные числа с повторами. Помните классическое «диагональное» доказательство несчетности действительных чисел? «Предположим, что счетно и выпишем их десятичные представления одно под другим». Так вот счетность одно, а для «выписывания» требуется больше чем счетность, требуется перечислимость, должен быть алгоритм перечисления, кого на первое место поставить, кого на второе и т.д. Так что классическое доказательство несчетности не проходит из-за отсутствия алгоритма перечисления действительных чисел. Жить с конструктивной математикой, конечно, сложнее, чем с классической, но теорема Левенгейма—Скулема о том, что всякая непротиворечивая теория имеет счетную модель, позволяет надеяться на полноту конструктивного подхода.

В принципе с конструктивным подходом можно выразить всё, что угодно, но вряд ли кто это делать будет. А если кто и «выразит», то вряд ли кто сие «выражение» читать будет, разве что ради любопытства. Если конструктивные вещественные числа задаются парой алгоритмов (генератор приближений + оценщик их сходимости), то можете представить себе как описываются функции вещественных переменных. Если еще учесть, что распознавание равенства конструктивных вещественных чисел является неразрешимой алгоритмической проблемой... А так как конструктивисты не отказываются от анализа невычислимых (или еще не вычисленных) объектов, главное, чтобы у них имелось конечное описание. Если доказано, что «не может не быть» функции с какими-то свойствами, то это доказательство и есть ее описание». Несуществование в конструктивизме обычно получается при переходе от единичного «не может не быть» к их серии. Скажем, для любой программы и конкретного набора ее входных данных не может не быть ответа на вопрос, зациклится ли она. Вы скажете — зациклится, я скажу — нет, и один из нас ответит верно, снимет двойное отрицание для единичного случая. А вот алгоритма, который сможет давать верные ответы для любых входных данных (разрешит проблему распознавания зацикливания для этой программы), может и не быть.

В.Н. Левин:

Самое старое известное доказательство бесконечности простых чисел было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так. Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Евклид, я считаю, должен из своего рассуждения сделать вовсе не тот вывод, который он сделал (будто множество всех простых чисел — бесконечно). Свой вывод — я берусь откорректировать Евклида — я привожу ниже.

За основу беру только что указанный текст Евклида, добавляю и выделяю слова, корректирующие ход ЕГО мысли и получаю следующее:

«П Р Е Д С Т А В И М, что количество простых чисел конечно. (ПРЕДСТАВИМ себе их ВСЕ). Перемножим (ВСЕ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ конечным набором простые числа) и прибавим (к ВООБРАЖАЕМОМУ результату) единицу. Полученное число не делится ни на одно из (ПРЕДСТАВЛЕННОГО) конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, полученное число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот (ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ) набор (например, хотя бы на самое себя, если ни на одно другое число оно не делится)».

Внимание! А теперь финальный вывод:

Следовательно, то простое число, на которое должно делиться полученное число, не входит в ранее ПРЕДСТАВЛЕННЫЙ набор ВСЕХ простых чисел. Следовательно, ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ! И ВСЁ. Конец вывода.

В откорректированном рассуждении, в отличие от оригинала, я опровергаю не утверждение о конечности множества простых чисел, а мнение о возможности П Р Е Д С Т А В И Т Ь такое множество конечным, о КОРРЕКТНОСТИ такого представления. Согласитесь, что разница в выводах действительно ПРИНЦИПИАЛЬНА!

Этим ИЛЛЮСТРИРУЕТСЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПАРАДИГМЫ МЫШЛЕНИЯ — той, к которой призывает Сергей Шилов, критикуя сложившуюся парадигму, в которой: «Доказательство… на деле есть [ЛИШЬ] спекулятивная связь представления, находящегося в “начале” “доказательства” как некоторой техники мышления, с представлением, находящимся в “конце” такого “доказательства”, — это показ (самопоказ) представления, в котором представление самоутверждается, демонстрирует себя как истинное. Дело доказательства как дело поиска истины в таком самопоказе представления предано забвению».

Михаил М., Вы пишите: «бесконечность числа простых чисел легко доказывается и в обычной, и в конструктивной математике». Если Вы учились у самого Маркова, ДОКАЖИТЕ бесконечность числа простых чисел в логике конструктивистской математики, т. е. не пользуясь методом «от противного», в основе которого лежит «закон исключенного третьего»!!!

EEV:

В.Н. Левин, Вы использовали лишнюю сущность, а именно понятие «набор», даже не потрудившись ее определить. Поэтому вывод некорректен.

С. Шилов:

Материал для продолжения дискуссии.

Оракул числа, или Риторическая теория числа как Божья помощь математикам

Когда бог считает, он создает мир

Лейбниц

Математики до сих пор не сделали необходимых выводов из провала гильбертовской программы формализации. Еще в первой половине прошлого века матлогик Фреге писал, что суть проблем Гильберта сводится к определению числа. Забавляет уверенность, с которой матлогики и поныне создают конструкции и дают определения, в то время как собственно основа их оперирования — логика — давно ушла у них из-под ног. «Перончик тронется, вагон останется». Провал гильбертовской программы произошел по той причине, что это была программа ЛОГИЧЕСКАЯ. Дело в том, что, ориентируясь на логику, математикам следовало бы поинтересоваться, что же происходит собственно в сфере логики. Вся история мышления Нового времени от Декарта является по меньшей мере фундаментальным преобразованием аристотелевой логики. И суть, результат этого преобразования до сих пор не зафиксированы академически. Декарт в своем методе указал на основание, которое предшествует (параллельно) логике, не нуждается в логике. Гегель построил Науку логики, одновременно бессознательно отфиксировав ее кантовские ограничения как критики чистого разума. Гегель предпочел признать прусскую монархию венцом истории, нежели сделать окончательный вывод о том, что НАУКА ЛОГИКИ ЛОГИКОЙ УЖЕ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ (ЧТО НАУКА ЛОГИКИ НЕВОЗМОЖНА!), вывод, который неявно и был движущей силой спекулятивного гегелевского письма. Хайдеггер сделал интересное замечание: на деле история мышления Нового времени есть «выдвижение в ничто». Т. е. весь историко-мыслительный цикл Нового времени мышление переходило с основания логики на иное основание, при этом попадая в ситуацию, когда уход с основания логики завершился, а новое основание не было надежно отрефлектировано. Дело аристотелевой (греческой) рациональности уже не могли (и не могут) спасти всякого рода «воображаемые логики» (термин русского логика Васильева), экспериментирующие с отказом от тех или иных логических законов. Новое время деконструирует сам принцип логики. В философии, завершающей западноевропейскую метафизику, философии Дерриды, принцип логики — «логоцентризм» — отторгается самой телесностью (реальной «практикой» текстовой работы) мышления, отпадает как некоторая «корка с глаз».