Страница 73 из 89
Итак, я провел эмпирическое исследование: суммировал ряд простых чисел и делил промежуточные суммы на количество чисел, в них включенных. Например, первые 10 простых чисел:1,2,3,5,7,11,13,17,19,23 — в сумме дают 101, средняя величина равна 10,1, что примерно равно 10; Первые 20 простых чисел: 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67 — в сумме дают 569, средняя величина равна 28,45, что существенно больше, чем 20 и т.д. Отсюда эмпирический вывод: сумма всех простых чисел (если число их конечно), равная очевидно, произведению их среднего арифметического на их количество, существенно превосходит квадрат количества простых чисел, чем опровергается Гипотеза 2.
С. Шилов:
О (ра)дуге простых чисел
Уважаемый Валентин Николаевич!
Описанным Вами способом математики давно пытаются найти эмпирическую формулу, хорошо описывающую рост количества простых чисел. От 1 до 100 имеется 25 простых чисел, т.е. четверть всех чисел; до 1000 их 168, т.е. около одной шестой; до 10 000 их 1229, т.е. примерно одна восьмая. Продолжая вычисления до 100 000, 1 000 000 и т.д. и определяя каждый раз отношение количества простых к количеству всех натуральных чисел, получают, что данное отношение (x к п(x)) при переходе от данной степени десяти к последующей всё время увеличивается примерно на 2,3. Математики сразу узнают в числе 2,3 логарифм 10 (разумеется, по основанию e). В результате возникает предположение, что п(x) приблизительно равно х / inx.
Вероятно, необходима ГИПОТЕЗА 3:
Ближе к «концу» числа простых чисел они начинают вести себя симметрично «началу», т.е. встречаться все чаще. Это отвечает идее Формулы Единицы, идее конечности. Косвенно подтверждается существованием пар простых чисел (так называемых близнецов, простых чисел, отличающихся на 2). Замедление «средней величины» простого числа относительно нарастания числа простых чисел не противоречит Гипотезе 1 и спасает Гипотезу 2. Согласитесь, ваше эмпирическое исследование нельзя считать полным. Ныне известно около 50 млн простых чисел. Я предполагаю, что их всего около 300 млн (раскрывая физические константы как математические предметности). Кстати из этих трех гипотез, вероятно, можно «схватить» окончательный закон простых чисел, найти то самое искомое самое большое простое число. Исследование «средней величины» простого числа относительно нарастания числа простых чисел прояснит картину релятивистских отношений.
Михаил М. (анонимный участник диалога):
Сергей Шилов, спекуляции вещь увлекательная, но, насколько мне известно, с 1970 г. известны полиномы, генерирующие все простые числа, из чего тривиально следует бесконечность их числа. Первый такой полином был построен как побочный результат решения 10-й проблемы Гильберта Ю.Матиясевичем, собственно на его докладе в МГУ я об этом и услышал в первый раз.
EEV (анонимный участник диалога):
Сергей Шилов, Вы пишите в тексте «Герменевтика формулы Единицы», критикуя евклидово доказательство бесконечности простых чисел, следующее: «Бесконечное множество перемноженных простых чисел, к которому была бы добавлена единица». Указанное Вами понятие не есть число, поэтому «простым числом» оно быть не может.
В.Н. Левин:
Сергей Шилов, Вы пишите: «Вероятно, необходима ГИПОТЕЗА 3: Ближе к «концу» числа простых чисел они начинают вести себя симметрично «началу», т.е. встречаться все чаще.
Гипотеза 3 — это очень смелая и любопытная гипотеза. Она действительно «спасает» ситуацию. Но подлежит ПРОВЕРКЕ, т. е. критическому исследованию.
К Гипотезе 1. О конечности количества простых чисел. Фактически это гипотеза о конечности мира, о конечности числа чисел вообще.
К Гипотезе 3. О симметричности распределения простых чисел в ряду целых чисел. Первые простые числа идут подряд друг за другом: 1, 2, 3.
В парадигме конструктивистской математики можно утверждать:
Тезис 1. Для достаточно большого целого числа НЕВОЗМОЖНО проверить (доказать) свойство его делимости на любое другое число, кроме самого на себя, следовательно, мы должны считать его простым ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. В этом смысле ВСЕ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИЕ ЧИСЛА — ПРОСТЫЕ, не делимы ни на одно число, кроме самих себя. В частности, они в этом смысле также идут подряд как и ПЕРВЫЕ простые числа, ― что соответствует Гипотезе 3 Шилова.
Далее, выдвигаю тезис Левина.
Тезис 2. Для любых двух достаточно больших целых чисел невозможно проверить (доказать) их отличие друг от друга, т. е. мы должны по определению считать их РАВНЫМИ друг другу.
Отсюда следует: Тезис 3. (Расширенная Гипотеза Шилова) Множество целых чисел открытое, но конечное. Последние из них недостижимы человеческим счетом, равны друг другу (неотличимы друг от друга) и являются простыми.
Михаил М., Вы пишите: «Спекуляции вещь увлекательная, но, насколько мне известно, с 1970 г. известны полиномы, генерирующие все простые числа, их чего тривиально следует бесконечность их числа»
В аксиоматике конструктивистской математики данное «тривиальное» следствие недопустимо (запрещено).
EEV, Вы критикуете тезис Шилова «бесконечное множество перемноженных простых чисел, к которому была бы добавлена единица» таким образом: «Указанное Вами понятие не есть число, поэтому “простым числом” оно быть не может». Справедливое замечание. Но я бы переформулировал его так: «Указанное произведение невозможно».
Михаил М:
В.Н. Левин, Сергей Шилов, господа, хотел бы сообщить, что в инете встречаются выпускники кафедры матлогики МГУ, заведующий которой А. А. Марков и основал конструктивное направление математики. Вам что нормальный алгорифм (А.А.Марков настаивал на таком спеллинге) нарисовать для проверки делимости любой пары натуральных чисел? Бесконечность числа простых чисел легко доказывается и в обычной, и в конструктивной математике, причем без всяких Гильбертов и порождающих полиномов.
Конструктивное направление математики получается последовательным распространением на другие разделы идей и результатов конструктивной математической логики. Конструктивную математическую логику некоторые считают не самостоятельным направлением, а философской, «материалистической» интерпретацией интуиционистской математической логики. Основания для этого есть, но интуиционистских логик можно построить много, не каждая из них соответствует идеям конструктивизма. Основное отличие от классической логики — отказ от аксиомы, разрешающей автоматически снимать двойное отрицание. То есть в конструктивной математике «ложно, что ложно» еще не означает «истинно», «не может не быть объекта» с какими-то свойствами еще не значит, что такой объект есть и с ним можно что-то делать дальше. Отсюда следует отказ от безусловной истинности закона исключенного третьего — «суждение либо ложно, либо истинно», «либо объект есть, либо его нет». В конструктивной математике для снятия двойного отрицания необходимо указать «способ» построения объекта, для истинности суждений вида «исключенного третьего» необходимо указать способ определения какая именно из альтернатив верна «ложно» или «истинно». «Способ» — это алгоритм в одной из «полных» алгоритмических систем — машины Тьюринга, нормальные алгорифмы, рекурсивные функции (Черч), ассоциативные исчисления и т.д. Для этих алгоритмических систем доказана эквивалентность и фактически (для каждой) сформулированы аксиомы, что более мощных алгоритмических систем не существует. Вообще при конструктивном подходе отказываются рассматривать объекты, не имеющие описания каким-то конечным текстом. «Бесконечные» по своей «классической» природе объекты вроде числа «пи» описываются алгоритмами их порождения (скажем, алгоритмом, выдающем по N приближение к «пи» с точностью N знаков). Вот тут и начинается самое интересное.