Страница 38 из 150
Ар = 1/Кр (106)
Характеристики Кр и Ар в принципе отличны от характеристик К и А . Неучет этого обстоятельства может привести к серьезным ошибкам, особенно если система находится вблизи нуля интенсиалов. Разницы между указанными характеристиками нет только в том гипотетическом частном случае, когда система располагает всего одной степенью свободы (см. формулы (60) и (105)).
Экстенсоры dE в уравнениях (54) и (100) имеют один и тот же смысл - они характеризуют количества переданных веществ. Что касается разностей dP , то в первом случае они определяют изменение состояния системы, а во втором - те перепады или напоры, которые служат причиной переноса веществ. Естественно поэтому, что разности dP в уравнениях (54) и (100) не равны между собой.
Дифференциальное уравнение (100) связывает количества перенесенных веществ с имеющимися разностями интенсиалов, следовательно, его допустимо трактовать как некое обобщенное дифференциальное уравнение переноса. Согласно этому уравнению, количества перенесенных веществ dE пропорциональны разностям интенсиалов dP , причем коэффициентами пропорциональности служат емкости Кр , найденные при постоянных значениях интенсиалов. Эти емкости именуются обобщенными проводимостями [17, с.37; 18, с.142; 21, с.64]. Из выражений (100), (101) и (102) видно, что существуют два типа обобщенных проводимостей: основные, индексы которых составлены из одинаковых цифр, и перекрестные, их индексы содержат разные цифры. В частном случае из равенств (100) и (104) могут быть получены все известные уравнения переноса [ТРП, стр.139-141].
3. Термодинамический поток и «сила».
Обобщенное дифференциальное уравнение переноса (100) весьма примечательно, ибо оно в самом общем виде описывает процесс распространения любого вещества, в том числе метрического и хронального, которые имеют отношение к пространству и времени. Но вопрос о пространстве и времени требует особого, более глубокого рассмотрения. Поэтому в настоящей главе мы ограничимся лишь приведением уравнения (100) к общепринятому виду, в котором пространство и время играют роль неких вспомогательных, опорных, эталонных характеристик.
Чтобы иметь возможность перейти к традиционной записи уравнения (100), необходимо вначале ввести понятия термодинамических потока и «силы», как это делается в термодинамике необратимых процессов. Для практических целей в работе [17, с.37-53] рекомендуются восемь различных основных вариантов выбора потоков и сил. Из них здесь рассматриваются четыре наиболее употребительных. В случае распространения метрического и хронального веществ приходится принимать во внимание также некоторую их специфику (см. параграфы 1 и 2 гл. XV).
Термодинамический поток, или просто поток, пропорционален количеству перенесенного вещества, характеризуемого экстенсором dE . Наибольший практический интерес представляют два весьма характерных выражения для потока. В первом случае количество вещества dE относится к единице площади поверхности dF и единице времени dt . Такой удельный поток обычно обозначается буквой J . Имеем
J = dE/(dFdt) (107)
Во втором случае количество вещества относится только к единице времени и обозначается буквой I . Получаем
I = dE/dt (108)
Потоки J и I , характеризующие конкретные условия переноса, широко применяются на практике: первый поток наиболее известен в теории теплопроводности, второй - в электротехнике, где именуется силой тока.
Термодинамическая сила, или просто сила, ответственная за перенос вещества, пропорциональна разности интенсиалов (об этом уже говорилось). Применительно к силе тоже предусмотрены два характерных варианта, отражающих конкретные условия переноса. В первом случае сила обозначается через X , она представляет собой напор интенсиала ?? , определяемый формулой (96). Имеем
Х = - ?Р = - (Рс – Рп) (109)
Вторая конкретная сила, обозначаемая буквой ? , представляет собой градиент интенсиала dР/dх , то есть
Y = - dP/dx (110)
Знак минус в правых частях равенств (109) и (110) свидетельствует о том, что вещество распространяется от большего значения интенсиала к меньшему, при этом разности ?Р и dP оказываются отрицательными. Но потоки веществ J и I , а следовательно, и силы X и ? должны быть положительными. Поэтому знак минус компенсирует отрицательные значения разностей ?? и dP .
Заметим, что термин «термодинамическая сила», или «сила», является общепринятым в термодинамике необратимых процессов. Однако он ничего общего не имеет с истинным понятием силы. Именно поэтому упомянутый термин был заключен нами в кавычки. В дальнейшем кавычки опускаются, но нужно не забывать об имеющейся в этом термине условности. Теперь мы располагаем уже тремя сходными по названию понятиями: сила, специфическая сила (интенсиал) и термодинамическая сила (разность или градиент интенсиала). Только первое понятие является силой в истинном смысле этого слова, два других понятия - это условные силы, они связаны с истинной силой соотношениями (94) и (97). Еще более условный смысл имеет понятие сила тока в электротехнике. Отметим также, что в принятых равенствах (107)-(110) по традиции в качестве опорных, эталонных использованы следующие пространственные и временные характеристики: площадь F , протяженность х и время t [ТРП, стр.141-142].
4. Четыре частных уравнения переноса.
Воспользуемся теперь конкретными потоками J и I и силами X и ? и преобразуем обобщенное уравнение (100) к виду, удобному для практического использования. При этом всего получаются четыре частных варианта дифференциальных уравнений переноса, ибо каждый из потоков J и I может сочетаться с каждой из сил X и ? .
В первом варианте сочетаются поток J и сила X . В простейших условиях двух степеней свободы (n = 2) из выражений (100), (107) и (109), заменив разность dP на ?Р , получим
J1 = ?11X1 + ?12X2 (111)
J2 = ?21X1 + ?22X2
где
?11 = - KP11(1/(dFdt)) ; ?22 = - KP22(1/(dFdt)) (112)
?12 = - KP12(1/(dFdt)) ; ?21 = - KP21(1/(dFdt)) (113)
В гипотетических частных условиях, когда n = 1, имеем
J = ?X (114)
где
? = - К(1/(dFdt)) (115)
В уравнениях переноса (111) и (114) величина ? представляет собой частную проводимость, которая играет роль, например, коэффициента отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В частном случае из равенства (114) получается известное уравнение закона теплообмена на поверхности тела Ньютона (см. параграф 2 гл. XX).
Во втором варианте сочетаются поток I и сила X . Ограничиваясь двумя степенями свободы (n = 2), из выражений (100), (108) и (109) находим
I1 = ?11X1 + ?12X2 (116)
I2 = ?21X1 + ?22X2
где
?11 = - KP11(1/dt) ; ?22 = - KP22(1/dt) (117)
?12 = - KP12(1/dt) ; ?21 = - KP21(1/dt) (118)
При n = 1 получаем
I = ?X (119)
где
? = K(1/dt) (120)
В уравнениях переноса (116) и (119) частная проводимость ? есть, например, коэффициент отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В отличие от коэффициента ? , относящегося к единице площади поверхности, величина ? относится к поверхности в целом.
В третьем варианте сочетание потока J и силы ? при двух степенях свободы (n = 2) позволяет получить из выражений (100), (107) и (110) следующее частное дифференциальное уравнение переноса:
J1 = L11Y1 + L12Y2 (121)
J2 = L21Y1 + L22Y2
где
L11 = - KP11(dx/(dFdt)) ; L22 = - KP22(dx/(dFdt)) (122)
L12 = - KP12(dx/(dFdt)) ; L21 = - KP21(dx/(dFdt)) (123)
При n = 1 имеем
J = LY (124)
где
L = - K (dx/(dFdt)) (125)
В уравнениях (121) и (124) коэффициент L представляет собой удельную проводимость системы по отношению к веществу. В частных случаях выражение (124) дает известные уравнения законов теплопроводности Фурье, электропроводности Ома, диффузии Фика и фильтрации Дарси [17, 18, 21].