Страница 25 из 28
Мы тут наблюдали за многими Составителями. Чтобы написать про всех, надо гору бумаги. Поэтому я расскажу тебе о двух-трёх. На первый раз хватит.
Кроме Составителей, на этом строительстве много практикантов вроде нас.
Они тоже ещё только учатся и потому часто попадают впросак. Но Составители на них не сердятся, а терпеливо разъясняют ошибки.
Один практикант строил стену из кирпичей. Положит несколько рядов, рассыплет и опять начнёт. Мы слышали, как он сам с собой разговаривал:
- Так и через десять лет не построишь! Ну и задачка!
- Что это вы делаете? - спросила Таня.
- Стену строю, - вздохнул тот, -да вот ничего не получается.
- Наверное, потому, что вы не кладете цемента, - догадался Сева.
- Нет, цемент тут ни при чём.
Он протянул нам листок, где была написана такая задача: "Построить стену высотой в пять кирпичей так, чтобы в каждом следующем ряду было на два кирпича меньше, чем в предыдущем. При этом надо использовать 145 кирпичей".
- Разве это так трудно? - удивились мы.
- Ещё бы! Ведь здесь не сказано, сколько кирпичей надо уложить в первом ряду. А без этого у меня ничего не получается. Положил 30 кирпичей. Тогда во втором надо уложить 28, в третьем - 26, в четвёртом - 24, в пятом -22. А 15 кирпичей остаётся! Попробовал положить в первый ряд 35 кирпичей, во второй 33, и так далее. На пятый ряд кирпичей уже не хватило.
- Дайте-ка мне попробовать! - попросил Сева.
Он положил в первый ряд 34 кирпича, во второй-32... Дошёл до пятого, опять не хватило!
- Не угадаешь!
- А тут гадать не надо, - сказал незнакомый голос.
Это к нам подошёл Составитель уравнений Тэ. Мы познакомились.
- Чем гадать, - продолжал он, - лучше составить уравнение. Обозначим неизвестное число кирпичей в первом ряду буквой икс. Сколько же в таком случае их будет во втором ряду, если там должно быть на два кирпича меньше, чем в первом?
- Конечно, х - 2, - сообразила Таня.
- Правильно. Тогда в следующем ряду будет х - 4, затем х - 6 и, наконец, в последнем, пятом ряду х - 8 кирпичей. Сколько же всего пойдёт кирпичей на строительство?
- Сумма всех этих чисел, - подсказал Сева,
х + (х - 2) + (х - 4) + (х - 6) + (х - 8).
- Верно. А так как всё это вместе по условию равно ста сорока пяти, получим уравнение:
х + х - 2 + х - 4 + х - 6 + х - 8 = 145.
- Ну, теперь уж просто, - отмахнулся Сева. - Остаётся сказать: "Аль-джебр! Аль-мукабала!" Одна минута, и бульон готов!
- Нет, - возразил Составитель, - не готов! Вы забыли привести подобные члены в левой части уравнения.
Привели подобные. Получилось: 5х - 20 = 145.
- Вот теперь и в самом деле можно приступить к восстановлению.
Перенесли число минус 20 в правую сторону с обратным знаком. Вышло, что 5х= 165, а х=33.
Я забыл тебе сказать, что составляли и решали уравнение мы не на бумаге: нам помогали живые буквы и цифры. А как только уравнение было решено, расколдованный Икс помахал нам своей маской и убежал. Мы стали проверять ответ и построили стену. И всё оказалось правильно: 33 + 31 + 29 + 27 + 25 = 145.
Потом мы увидели того самого карликана, который собирался рыть котлован для фундамента. Он стоял возле одного Составителя, и они решали его задачу. Мы подошли и стали помогать. Это уравнение оказалось посложней первого.
- Итак, - сказал Составитель, - у вас три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй-за три, третий-за двенадцать. Неважный, наверное, экскаватор. Вы хотите, чтобы все три работали одновременно. Конечно, так они выроют котлован быстрее. Но за какое время? Составим уравнение. Что примем за Икс?
- Время, за которое все три экскаватора выроют весь котлован,- предложил я.
- Верно. Давайте дальше.
Тут я, как назло, запнулся. Ни туда ни сюда.
- Ладно уж,- сказал Составитель,-придется помочь. Выясним, какую часть котлована выроет каждый экскаватор за один час? Для этого условимся, что объём всего котлована равен единице.
- И что из этого следует? - спросил Сева.
- А из этого следует, - догадался я, - что первый экскаватор за час выроет одну четверть котлована, второй - одну треть, третий - одну двенадцатую.
- Ну конечно! - обрадовался Составитель. - Какую же часть они выроют за час, если будут работать все вместе?
На этот раз ответил Сева:
- Вот какую: 1/4 + 1/3 + 1/12
- Молодец! А за икс часов?
- А за икс часов они выроют в икс раз больше. - сказала Таня.-Это и будет весь котлован, объём которого мы приняли за единицу.
Так у нас получилось уравнение: х(1/4 + 1/3 + 1/12) = 1.
Ну, а решить такое уравнение было уже совсем легко: 8/12х = 1.
Значит, Икс равен двенадцати восьмым, или х = 3/2.
Выходит, что три экскаватора, работая вместе, выроют котлован за полтора часа.
Неловко об этом говорить, но мне было очень приятно, когда маска с Икса упала и он стал нас благодарить.
Карликан заторопился к своим экскаваторам, а Составитель тут же предложил решить ещё одну задачу, точно такую же, но... Что это за "но", ты сейчас поймёшь.
- Признаться, надоели мне такие уравнения, - сказал Составитель, - слишком часто приходится их составлять. Везде идут стройки, везде роют котлованы. Пора бы уж сразу найти один ответ на все подобные вопросы. Ведь мы как-никак живём в Аль-Джебре...
- И потому должны упрощать и обобщать, - докончил Сева.
- Уж конечно! Не хотите ли вместе со мной вывести такое единое решение?
Мы молча кивнули, и Составитель начал:
- Так как экскаваторы бывают разных мощностей, то пусть первый из них роет котлован за а часов, второй - за b часов, ну а третий, допустим, за с часов. Спрашивается, за сколько часов выроют они котлован, если будут работать вместе?
- По-моему, - сказал я, - решение должно быть таким же, как и в предыдущей задаче. Только та задача была в числах, а мы её изобразим буквами. Снова примем за Икс число часов, необходимое, чтобы закончить работу, а всю работу за единицу.
- Так-так-так, - подбадривал Составитель.
Теперь рассуждала Таня:
- Очевидно, первый экскаватор совершит за час 1/а часть работы. Это, наверное, читается так: одну атую часть работы?
- Хорошо, хорошо.
- Тогда второй,- сказал Сева,- за час совершит одну бэтую:- 1/b, а третий одну цэтую: 1/c часть работы. А все вместе они выроют за час сумму этих дробей; 1/a + 1/b + 1/c.
Теперь нетрудно составить уравнение, - ведь за икс часов они выполняют работу в икс раз большую: x(1/a + 1/b + 1/c).
И всё это должно быть равно единице; x(1/a + 1/b + 1/c) = 1.
Вот вы и составили уравнение,- похвалил Составитель.
- Теперь приведём подобные, - сказал Сева. Вспомнил, наверное, как он недавно оплошал.
- Нет, - возразил Составитель, - здесь я не вижу никаких подобных. Просто надо сложить три дроби, которые стоят в скобках. Для этого приведём их к общему знаменателю и введём дополнительные множители у каждой дроби.
- Это мы знаем, - вмешалась Таня и тут же написала: 1/a + 1/b + 1/c = bc/abc + ac/abc + ab/abc = (bc + ac + ab)/abc , или x*(bc + ac + ab)/abc = 1
- Вот какой огромный коэффициент оказался у Икса! - заметил Сева.- С таким провожатым ничего нестрашно.
- Что же остаётся сделать, чтобы найти Икс? - спросил Составитель.
- Разделить правую часть уравнения - единицу - на этот коэффициент,ответила Таня.
х = 1:(x*(bc + ac + ab) / abc)
С этим она справилась быстро: x = abc/(bc + ac + ab)
Икс подошёл к Тане и поклонился, помахав вместо шляпы чёрной маской. Д'Артаньян, да и только!
- Вот вам и уравнение, пригодное для любых трёх экскаваторов, - сказал напоследок Составитель. - Может быть, хотите проверить?
Тут уж пришёл на Севину улицу праздник. Подставлять - его любимое занятие. Вместо а, b и с он подставил числа из предыдущей задачи - 4, 3 и 12: