Страница 20 из 190
Механика сплошных сред.
Газы, жидкости и твёрдые тела в механике сплошных сред рассматриваются как непрерывные однородные среды. Вместо координат и импульсов частиц состояние системы однозначно характеризуется следующими функцияциями координат (х, у, z ) и времени (t ): плотностью р (х, у, z, t ), давлением Р (х, у, z, t ) и гидродинамической скоростью v (х, у, z, t ), с которой переносится масса. Уравнения механики сплошных сред позволяют установить значения этих функций в любой последующий момент времени, если известны их значения в начальный момент и граничные условия.
Эйлера уравнение , связывающее скорость течения жидкости с давлением, вместе с неразрывности уравнением , выражающим сохранение вещества, позволяют решать любые задачи динамики идеальной жидкости. В гидродинамике вязкой жидкости учитывается действие сил трения и влияние теплопроводности, которые приводят к диссипации механической энергии, и механика сплошных сред перестаёт быть «чистой механикой»: становятся существенными тепловые процессы. Лишь после создания термодинамики была сформулирована полная система уравнений, описывающая механические процессы в реальных газообразных, жидких и твёрдых телах. Движение электропроводящих жидкостей и газов исследуется в магнитной гидродинамике . Колебания упругой среды и распространение в ней волн изучаются в акустике .
Термодинамика.
Всё содержание термодинамики является в основном следствием двух начал: первого начала – закона сохранения энергии, и второго начала, из которого следует необратимость макроскопических процессов. Эти начала позволяют ввести однозначные функции состояния: внутреннюю энергию и энтропию . В замкнутых системах внутренняя энергия остаётся неизменной, а энтропия сохраняется только при равновесных (обратимых) процессах. При необратимых процессах энтропия возрастает, и её рост наиболее полно отражает определённую направленность макроскопических процессов в природе. В термодинамике основными величинами, задающими состояние системы, – термодинамическими параметрами – являются в простейшем случае давление, объём и температура. Связь между ними даётся термическим уравнением состояния (а зависимость энергии от объёма и температуры – калорическим уравнением состояния). Простейшее термическое уравнение состояния – уравнение состояния идеального газа (Клапейрона уравнение ).
В классической термодинамике изучают состояния теплового равновесия и равновесные (протекающие бесконечно медленно) процессы. Время не входит в основные уравнения. Впоследствии (начиная с 30-х гг. 20 в.) была создана термодинамика неравновесных процессов. В этой теории состояние определяется через плотность, давление, температуру, энтропию и др. величины (локальные термодинамические параметры), рассматриваемые как функции координат и времени. Для них записываются уравнения переноса массы, энергии, импульса, описывающие эволюцию состояния системы с течением времени (уравнения диффузии и теплопроводности , Навье – Стокса уравнения ). Эти уравнения выражают локальные (т. е. справедливые для данного бесконечно малого элемента объёма) законы сохранения указанных физ. величин.
Статистическая физика (статистическая механика).
В классической статистической механике вместо задания координат ri , и импульсов pi частиц системы задаётся функция распределения частиц по координатам и импульсам, f (ri , pi ,..., rN , pN , t ), имеющая смысл плотности вероятности обнаружения наблюдаемых значений координат и импульсов в определённых малых интервалах в данный момент времени t (N – число частиц в системе). Функция распределения f удовлетворяет уравнению движения (уравнению Лиувилля), имеющему вид уравнения непрерывности в пространстве всех r , и pi (т. е. в фазовом пространстве ). Уравнение Лиувилля однозначно определяет f в любой последующий момент времени по заданному её значению в начальный момент, если известна энергия взаимодействия между частицами системы. Функция распределения позволяет вычислить средние значения плотностей вещества, энергии, импульса и их потоков, а также отклонения их от средних значений – флуктуации . Уравнение, описывающее эволюцию функции распределения для газа, было впервые получено Больцманом (1872) и называлось кинетическим уравнением Больцмана .
Гиббс получил выражение для функции распределения произвольной системы, находящейся в равновесии с термостатом (каноническое Гиббса распределение ). Эта функция распределения позволяет по известному выражению энергии как функции координат и импульсов частиц (функции Гамильтона) вычислить все потенциалы термодинамические , что является предметом статистической термодинамики.
Процессы, возникающие в системах, выведенных из состояния термодинамического равновесия, необратимы и изучаются в статистической теории неравновесных процессов (эта теория вместе с термодинамикой неравновесных процессов образует кинетику физическую ). В принципе, если функция распределения известна, можно определить любые макроскопические величины, характеризующие систему в неравновесном состоянии, и проследить за их изменением в пространстве с течением времени.
Для вычисления физических величин, характеризующих систему (средние плотности числа частиц, энергии и импульса), не требуется знания полной функции распределения. Достаточно более простых функций распределения: одночастичных, дающих среднее число частиц с данными значениями координат и импульсов, и двухчастичных, определяющих взаимное влияние (корреляцию) двух частиц. Общий метод получения уравнений для таких функций был разработан (в 40-х гг. 20 в.) Боголюбовым, Борном, Г. Грином (англ. физик) и др. Уравнения для одночастичной функции распределения, построение которых возможно для газов малой плотности, называются кинетическими. К их числу относится кинетическое уравнение Больцмана. Разновидности уравнения Больцмана для ионизованного газа (плазмы ) – кинетические уравнения Ландау и А. А. Власова (30–40-е гг. 20 в.).
В последние десятилетия всё большее значение приобретает исследование плазмы. В этой среде основную роль играют электромагнитные взаимодействия заряженных частиц, и лишь статистическая теория, как правило, способна дать ответ на различные вопросы, связанные с поведением плазмы. В частности, она позволяет исследовать устойчивость высокотемпературной плазмы во внешнем электромагнитном поле. Эта задача чрезвычайно актуальна в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза .
Электродинамика.
Состояние электромагнитного поля в теории Максвелла характеризуется двумя основными векторами: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В, являющимися функциями координат и времени. Электромагнитные свойства вещества задаются тремя величинами: диэлектрической проницаемостью e, магнитной проницаемостью (и удельной электропроводностью s, которые должны быть определены экспериментально. Для векторов Е и В и связанных с ними вспомогательных векторов электрической индукции D и напряжённости магнитного поля Н записывается система линейных дифференциальных уравнений с частными производными – Максвелла уравнения . Эти уравнения описывают эволюцию электромагнитного поля. По значениям характеристик поля в начальный момент времени внутри некоторого объёма и по граничным условиям на поверхности этого объёма можно найти Е и В в любой последующий момент времени. Эти векторы определяют силу, действующую на заряженную частицу, движущуюся с определённой скоростью в электромагнитном поле (Лоренца силу ).