Страница 200 из 284
Vanitas notas in pagina
Многие заинтригованы интуиционизмом Брауэра, но не все. Венгерский математик Джордж Пойа, коллега Вейля по Цюриху, называет программу Брауэра «математикой в коротких рукавах» – иными словами, одетой не по форме. Они с Вейлем вступают в спор. Они дискутируют. Наконец, Вейль заключает с Пойа дружеское пари о том, что идеи Брауэра в конечном счете одержат верх. Он предсказывает, что в течение 20 лет интуиционизм станет доминирующей теорией.
После выхода статьи Вейля о кризисе оснований линии фронта очерчены. Математики разделяются на два лагеря: формалистов, следующих за Гильбертом, и интуиционистов, следующих за Брауэром.
Подход Гильберта доминирует. В конце концов, он куда более известен – бьющееся сердце в самом сердце математической вселенной. Кроме того, в его словах есть многое, что подкупает. Его «безудержная вера в решения» пьянит – идея о том, что если вы можете логически сформулировать задачу, то при наличии достаточного времени, чистого разума и упорного труда вы в конечном счете ее решите.
В то же время формализм Гильберта, каким он развивается в начале 1920-х годов, – странный зверь для человека, который провел большую часть карьеры, работая над проблемами прикладной математики. Ничто не может быть более абстрактным, чистым и далеким от поклонения прикладной математике, чем основания математики. Но корни этого перехода существовали всегда. Книга Гильберта 1899 года «Основания геометрии», по сути, взяла то, что всегда было прикладным предметом, и превратила его в предмет абстрактный. Теперь, в 1920-х, он хочет пойти дальше.
Для него попытка укрепить основания математики, полагаясь на иную систему, вроде логики, – все равно что есть плошку горохового пюре, когда у вас на тарелке лежит ковбойский стейк. Вместо этого он берет математические объекты, обозначает их символами и комбинирует утверждения, используя стандартные логические правила, чтобы сформировать математические доказательства – «метаматематику», как он это называет, или «теорию доказательств». Его формализм не сложнее этого: работа с теоремами, составленными из строк бессмысленных значков на странице, как выражается Гильберт. На самом деле – игра.
Но это ничуть не умаляет серьезности метода. Ведь у игр есть правила. Поэтому Гильберт предлагает выстраивать математические доказательства именно по этому принципу: игры с установленными правилами, где внимание сосредоточено не на математических объектах – игровых фигурах, а на правилах игры. Когда правила соблюдаются, возникает смысл. И результаты имеют смысл, даже если знаки, которые к ним привели, его лишены. Такова основа его подхода, теории доказательств, формализма, метаматематики или как бы вы это ни называли. Делать осмысленные утверждения о бессмысленных символах.
Что именно это значит?
* * *
Возьмем стандартную партию в шахматы. В шахматах есть набор фигур – стандартных не по форме и виду, а по своему абстрактному значению: король есть король, ферзь есть ферзь, а пешка есть пешка. У меня дома три шахматных набора. Один – изящный, ручной полировки, медно-кофейных тонов, выполненный профессиональными художниками в виде персонажей «Винни-Пуха». Я купил его в Нью-Йорке много лет назад, полагая, что все эти пешки-Пятачки и кони-Иа-Иа понравятся моим маленьким детям. Однако фигуры оказались слишком хрупкими для игры, и набор лежит в коробке со дня покупки.
Другая шахматная доска у меня дома – это уникальный набор из глазурованной обожженной глины, который моя дочь сделала в школе на курсе по керамике. С одной стороны там фигуры-растения, с другой – животные. Кони – это деревья и белки, а пешки – шмели и тюльпаны. А третий мой набор – просто дешевый магазинный дорожный комплект, где 32 пластиковые фигуры – это стандартные черно-белые кони в виде «троянских коней» и пешки-минареты. Они плотно укладываются в футляр, который раскладывается в доску.
Суть в том, что точная форма, материал и цвет пешек не имеют никакого значения. Керамические пчелы. Пластиковые кони. Отлитые вручную Пятачки. Они выглядят совершенно по-разному, и их внешний облик лишен смысла. Единственное, что имеет значение, – это правила: у вас есть восемь пешек, стоящих в ряд на второй линии в начале игры, и каждая может пойти на одну или две клетки вперед при первом ходе, а дальше – только на одну, если не бьет фигуру противника.
Есть и другие правила. Игроки ходят по очереди – это правило. Есть правила, управляющие движением всех остальных фигур. Вы не можете передвинуть короля больше чем на одну клетку, потому в противном случае вы будете играть уже в другую игру. Расстановка на доске – тоже стандартное правило, даже в таком варианте, как случайные шахматы Фишера, или «Шахматы-960», где задний ряд выстраивается произвольно. Правила определяют ход игры и, в конечном счете, ее исход: победу, поражение или ничью. Никто в честной шахматной партии не станет пытаться обойти правила (не считая редких скандалов с участием гроссмейстеров).
А вопрос о том, «истинны» ли шахматы, по сути бессмыслен. Игра есть игра. И точно так же математика есть математика. Пока правила последовательно определены и строго соблюдаются, этого, по мнению Гильберта, достаточно. Неважно, из чего фигуры: из пластика, дерева или резного мрамора в бриллиантах. Они не имеют смысла сами по себе. Фигуры – это фигуры. Правила – это правила. А шахматы – это шахматы.
Гильберт подходит к такой, с позволения сказать, «геймификации» математики с размахом. Он уравнивает все математические фигуры: реальные и воображаемые, сложные и простые. Для него все это – просто объекты, записанные на языке математики. И язык этот не страдает от досадной двусмысленности нашей обычной речи; это особый символический код, полностью очищенный от побочных смыслов. Вспомните керамических пчел, которых слепила моя дочь. Сами по себе эти фигурки бессмысленны, пока вы не поставите их на доску.
* * *
Однако игра в математику сложнее, чем игра в шахматы. Почему? Во-первых, объекты математики не столь бессмысленны, как пластиковые пешки. О чем мы говорим, когда говорим об объектах математики? О таких вещах, как числа, линии и геометрические фигуры. Кажется, что эти вещи обладают очевидным, недвусмысленным и объективным внешним смыслом. Эти смыслы глубоко укоренены в нашем понимании математики. Некоторые из них, такие как целые числа, возможно, даже являются нейробиологически встроенной частью нашего мышления.