Страница 197 из 284
Здесь стоит сделать паузу и рассмотреть одну из самых примечательных особенностей Гильберта – его взгляды на бесконечность. Обычно в философии «финитистом» считают того, кто прямо отвергает понятие любой актуальной бесконечности. В практической жизни мы все финитисты, поскольку проживаем лишь малое, временное существование в огромной, но все же конечной Вселенной. Мы разыгрываем карты нашей жизни под неумолимое тиканье часов, сталкиваясь с реальными, конкретными ограничениями на каждом этапе.
Математик-финитист полагает, что реальны лишь те математические утверждения, которые можно доказать за конечное число шагов. Но Гильберт в некотором смысле парадоксальный финитист – он является им лишь постольку, поскольку им не является. Он верит, что по существу все можно доказать чисто конечным, ограниченным способом. Но именно здесь он натыкается на то же серьезное препятствие, которое не давало покоя математикам тысячелетиями: как обращаться с бесконечностью. Как можно манипулировать, обрабатывать и доказывать вещи, связанные с бесконечными совокупностями, используя чисто финитные средства?
«Согласно Гильберту, самым уязвимым местом в крепости математики была бесконечность, – напишет американский математик Стив Симпсон в 1988 году. – Чтобы защитить основания математики, необходимо было прежде всего прояснить и оправдать использование математиками бесконечного».
И почему бы нет? В 1920-х годах физика переживала революцию, так почему бы и математике не пережить ее? Квантовая теория показала, что энергия на субатомном уровне не непрерывна, а дискретна, конкретна и квантована. Теория относительности искривила свет и пространство до неузнаваемости. А теория Большого взрыва вскоре предположит, что пространство, время и сама Вселенная вовсе не бесконечны, а подчиняются классическому сюжету: начало, середина и конец. Согласно Симпсону, это приводит Гильберта к выводу, что «бесконечность не соответствует ничему в физическом мире».
Так какой способ уловить бесконечность может быть лучше, чем маленький бессмысленный значок на странице? Единственная проблема – и ключ к успеху, как знает Гильберт, – это поиск «доказательства непротиворечивости». Нужно показать, что доказательства с участием бесконечных множеств можно подтвердить, сведя их к бессмысленным значкам на бумаге и манипулируя ими исключительно финитными методами. Дайте доказательство этого – и бац! Дело сделано.
Если он сможет это сделать, напишет Симпсон в 1988 году, это покажет, «что финитистски значимые конечные формулы инфинитистских доказательств истинны в реальном мире». Это будет означать, что он проложил путь к доказательству чего угодно, создал прочный фундамент для математики и выиграл Великую математическую войну.
Однако не все согласны с этой идеей – и меньше всего Брауэр. Гильберт был убежден: дайте только время и силы, докажите непротиворечивость – и мы решим любую задачу. Брауэр же смотрел на вещи прагматично, если не сказать с кислой миной. Его настрой напоминал «торжествующий пессимизм» физиолога Эмиля дю Буа-Реймона, философию которого Гильберт на дух не переносил.
Брауэр твердо верит, что некоторые утверждения доказать невозможно. «В математике нет уверенности, вся ли логика допустима, – говорит Брауэр, – и нет уверенности, можно ли решить, вся ли логика допустима». Иными словами, мы не знаем, и в некоторых случаях не можем знать. А в конечном счете мы можем даже не знать, способны ли мы знать. (Это напоминает слова о «неизвестных неизвестных» бывшего министра обороны США Дональда Рамсфелда.)
Выплеснуть «может быть» вместе с математикой
Брауэр еще более прямолинеен в своей критике всей концепции Гильберта о бессмысленных значках на странице, безжалостно высмеивая его за это. «Пустой формализм», – говорит он. Лишенный смысла. Лишенный интереса. Здесь не на что смотреть.
Кому есть дело до глупого подхода Гильберта, если математика не имеет смысла? Критика, безусловно, несправедливая, но Гильберт швыряет в ответ свои собственные бомбы. Он называет своего заклятого врага худшей формой адвоката дьявола – разрушительным скептиком. Невероятная узколобость. Он обвиняет Брауэра и его последователей, в частности своего бывшего ученика Вейля, в произволе. Они «стремятся подвести фундамент под математику, выбрасывая за борт все, что им мешает».
К этому времени для разрядки уже слишком поздно. Почти ничто из сказанного или сделанного Гильбертом за всю жизнь в отношении чего-либо или кого-либо даже отдаленно не сравнится с его отношением и злобными выпадами в адрес Брауэра в 1920-х годах. «Никогда до или после в своей жизни Гильберт не занимал такой воинствующей и откровенно личной позиции в научном споре, как с Брауэром, – отмечал один эксперт в последние годы. – Этот настрой порой толкал его на совершенно абсурдные поступки».
«Какие поступки?» – можете спросить вы. Об этом чуть позже. Сначала Гильберту предстоит еще одно, личное и куда более мучительное восхождение. В 1920-х он превратился в старика. Жизнь, полная труда, и военные годы на репе не пошли на пользу его здоровью. У него серьезные проблемы, и он оказывается на пороге смерти. Те, кто видит его каждый день, читают это по его лицу. Он болен. Бледен. Изможден. Слабеет и угасает физически.
Конечно, Гильберт по-прежнему икона. Маяк. Он – Крысолов из рая Кантора. Студенты, ровесники, коллеги – все обожают и почитают его. Даже далекие от науки люди знают и почитают его. Многие ли математики попадают на почтовые марки, как это было с Гильбертом в начале 1900-х? Он знаменит. Живая икона в том смысле, в каком почти ни один математик никогда не был и не будет. Он воплощает сверхчеловеческое величие, находясь там, в заоблачном царстве, наравне с Альбертом Эйнштейном.
И он – математик до мозга костей.
* * *
Когда Гильберт появляется на встречах, люди задерживают дыхание. Когда он встает, чтобы выступить, слышен громкий вздох изумления.
О боже!
На его лекции приходят заранее и остаются допоздна. Он – мэтр. Волшебник. Капитан. Тренер. Бесспорный гений. Неописуемое величие. И слабое здоровье ничуть не гасит сияние его звезды. Пожалуй, он самый влиятельный математик своей эпохи.