Страница 9 из 12
7. nodaļa Reizināšana ar diviem atsauces skaitļiem
Mūsu reizināšanas metode lieliski darbojās skaitļiem, kuru lielums ļoti neatšķiras. Pretējā gadījumā metode arī darbojas, taču aprēķini būs apgrūtinošāki. Piemēram, ko darīt, ja mēs vēlētos aprēķināt, cik daudz ir 13 x 64? Kuru atsauces numuru mums vajadzētu izvēlēties? Šajā nodaļā apskatīsim vienkāršu metodi, kas ļauj ievērot vienu un to pašu stratēģiju, bet izmantojot divus atsauces numurus.
Varat reizināt divus skaitļus, kuru lielums ir ļoti atšķirīgs, izmantojot divus atsauces numurus. Vispirms iedziļināsimies lietas būtībā, un tad es jums parādīšu, kā šī metode darbojas. Kā piemēru ņemsim produktu 8 x 27. 8 ir tuvāk 10, tāpēc mēs izmantojam 10 kā pirmo atsauces numuru. 27 ir tuvāk 30, tāpēc
30 būs mūsu otrais atsauces numurs. No šiem skaitļiem izvēlieties to, ar kuru ir visvieglāk reizināt. Tā kā to ir ļoti viegli reizināt ar 10, mēs to izvēlēsimies. Tas būs mūsu galvenais atsauces numurs. Otrajam atsauces numuram ir jābūt galvenā numura reizinājumam. Mūsu izvēlētais skaitlis ir bāzes daudzkārtnis, kas ir trīs reizes lielāks par skaitli (30: 10 = 3). Tā vietā, lai zīmētu apli, es ierakstu divus atsauces numurus iekavās pa kreisi no piemēra nosacījuma.
Primārais atsauces numurs ir 10. Otrais atsauces numurs ir 30 jeb 3 x 10. Atsauces numurus rakstām iekavās kā otro skaitli, kas izteikts kā pirmais, tas ir:
(10 x 3) 8 x 27 =
Abi piemērā minētie faktori ir mazāki par to atsauces skaitļiem, tāpēc zem faktoriem apzīmējam apļus. Zem skaitļa 8, kura atsauces numurs ir 10, novelciet vēl vienu apli.
Par cik 8 un 27 ir mazāki par to atsauces skaitļiem (atcerieties, ka 3 apzīmē 30)? Par 2 un 3. Ierakstiet 2 un 3 apļos.
Tagad reiziniet 2, kas atrodas zem koeficienta 8, ar koeficientu 3 iekavās.
2 x 3 = 6
Zem 2 zemākajā aplī ierakstīsim 6. Tagad no 27 atņemiet skaitli, kas atrodas šķērsām zemākajā aplī:
27 – 6 = 21
Reiziniet 21 ar bāzes atsauces numuru 10:
21 x 10 = 210
210 ir mūsu starpposma atbilde. Lai iegūtu atlikušo daļu, mēs reizinām augšējos apļos esošos skaitļus (2 un 3), kas mums iegūst 6. Pievienojiet 6 ar 210 un iegūstiet galīgo atbildi: 216.
Atrisināsim citu piemēru:
9 x 48 =
Kādus atsauces numurus mums vajadzētu izvēlēties? 10 un 50. Rakstīsim piemēru jaunā veidā:
(10 x 5) 9 x 48 =
Abi faktori ir mazāki par to atsauces skaitļiem, tāpēc mēs novietojam apļus apakšā. Cik tie ir mazāki par to atsauces numuriem? 1 un 2. Ievadiet 1 un 2 apļos:
Tagad reizināsim 1 zem 9 ar koeficientu 5, kas ir iekavās.
1 x 5 = 5
Mēs rakstām 5 zemākajā aplī zem 1. Mūsu piemēra risinājums tagad izskatās šādi:
Atņemiet 5 no 48:
48 – 5 = 43
Aiz vienādības zīmes rakstīsim 43. Sareizināsim 43 ar atsauces skaitli 10 (lai to izdarītu, mēs vienkārši pievienojam 0 labajā pusē ar 43), kas dos atbildi.
43 x 10 = 430
Kā pēdējo soli reiziniet skaitļus divos augšējos apļos:
1 x 2 = 2
Pievienosim 2 starpatbildei 430:
430 +2 = 432
Pilnībā atrisinātais piemērs tagad izskatās šādi:
Vienkārši, vai ne? Vienīgā grūtība, kas jums var rasties, ir atcerēties, kam vajadzētu būt nākamajam solim.
Ja reizinātāji ir lielāki par atsauces skaitļiem, mēs rīkojamies šādi. Kā piemēru ņemsim produktu 13 x 42:
Galvenais atsauces numurs ir 10. Otrais, ko mēs paņēmām, ir 40 jeb 10 x 4. Mēs cenšamies atlasīt atsauces skaitļus tā, lai tie būtu mazāki vai lielāki par skaitļiem, kas tiek reizināti. Abi faktori šajā piemērā ir lielāki par attiecīgajiem atsauces skaitļiem, tāpēc augšpusē mēs uzzīmējām apļus. Koeficients 13 atbilst bāzes atsauces skaitlim 10, tāpēc virs šī faktora mēs novelkam divus apļus. Cik daudz vairāk nekā jūsu atsauces numuri 13 un 42? Uz 3 un 2. Mēs ievadām 3 un 2 apakšējos apļos. Reiziniet 3 aplī virs koeficienta 13 ar 4 iekavās.
3 x 4 = 12
Mēs rakstām 12 augšējā aplī virs 13. Tagad salieciet to šķērsām.
42 +12 = 54
54 un atsauces numura 10 reizinājums dod 540. Šī ir mūsu starpposma atbilde. Tagad reizināsim skaitļus apakšējos apļos.
3 x 2 = 6
Pievienojiet 6 pret 540, lai iegūtu galīgo atbildi: 546. Šādi izskatās pilnībā atrisināts piemērs:
Primārajam atsauces numuram nav jābūt 10. Lai atrastu reizinājumu 23 x 87, ir lietderīgāk izmantot 20 kā primāro atsauces numuru un 80 (20 x 4) kā otro atsauces numuru.
Pastiprināsim to, ko esam iemācījušies, izmantojot piemēru:
(20 x 4) 23 x 87 =
Abi piemērā minētie faktori ir lielāki par to atsauces skaitļiem (20 un 80), tāpēc augšpusē zīmējam apļus. Cik vēl? Uz 3 un 7. Mēs ievadām 3 un 7 atbilstošajos apļos.
Mēs reizinām 3, kas pārsniedz koeficientu 23, ar 4 iekavās.
3 x 4 = 12
Mēs ievadām 12 augšējā aplī, virs 3. Jūsu paveiktais darbs izskatās šādi:
Tagad pievienosim 12 un 87.
87 +12 = 99
Reiziniet 99 ar bāzes atsauces numuru 20:
99 x 20 = 1980. gads
(Vispirms mēs reizinām 99 ar 2, un rezultāts ir 10. 99 ir 100 mīnus 1. 2 reizinot ar 100 mīnus 1, iegūst 200 mīnus 2, kas ir vienāds ar 198. Tagad reiziniet 198 ar 10 un iegūstiet reizinājuma atbildi 99 x 20.)
Tagad reizināsim skaitļus apakšējos apļos.
3 x 7 = 21
1980 +21 = 2001
Piemēra galīgais risinājums izskatās šādi:
Es piedāvāju trīs piemērus jūsu risinājumam:
a) 14 x 61 = __; b) 96 x 389 = __; c) 8 x 136 = __
Lai aprēķinātu reizinājumu 8 x 136, izmantojiet skaitļus 10 un 140 (10 x 14) kā atsauces numurus.
Atbildes:
a) 854; b) 37344; c) 1088
Atrisināsim piemērus b) un c) kopā:
b) 96 x 389 =
Mēs izmantosim 100 un 400 kā atsauces numurus:
Reiziniet 4 aplī zem koeficienta 96 ar 4 iekavās:
4 x 4 = 16
Mēs ievadām 16 apakšējā aplī zem 4. Risinājums līdz šim izskatās šādi:
Atņemiet 16 no 389 un iegūstiet 373. Pēc tam reiziniet 373 ar bāzes atsauces numuru 100, iegūstot 37300.
Tagad sareizināsim 4 un 11 apļos, iegūstot 44. Summa 44 un 37300 dod 37344.
Pilnībā atrisināts piemērs izskatās šādi:
Tagad mēģināsim atrisināt piemēru c):
8 x 136 =
Ņemsim 10 un 140 (10 x 14) kā atsauces numurus:
Sareizināsim 2 zem koeficienta 8 ar skaitli 14, kas ir iekavās:
2 x 14 = 28
Mēs rakstām 28 apakšējā aplī zem 2. Tagad no 136 atņemiet 28 (vispirms atņemiet 30 un pēc tam vēl 2) un iegūstam 108. Tagad reiziniet 108 ar galveno atsauces skaitli 10, iegūstot atbildi 1080. Līdz šim paveiktais darbs izskatās šādi:
Tagad reizināsim skaitļus 2 un 4 apļos.
2 x 4 = 8
Pievienojiet 8 pret 1080 un iegūstiet galīgo atbildi: 1088.
Atsauces skaitļi, kas izteikti kā viens skaitlis dalīts ar citu
Lai reizinātu 96 ar 47, mēs varētu izmantot 50 vai 100 kā atsauces skaitļus: 50 x 2 vai 100:2. Šajā gadījumā 100:2 būtu labāk, jo 100 tad kļūtu par primāro atsauces numuru. Vienkāršāk ir reizināt ar 100 nekā ar 50. Lūdzu, ņemiet vērā, ka, rakstot risinājuma piemēru, labāk vispirms norādīt koeficientu, kas attiecas uz galveno atsauces numuru.
Tātad, ķersimies pie risinājuma:
96 x 47 =
Ņemsim 100 un 50 kā atsauces skaitļus:
Sadaliet skaitli 4, kas atrodas aplī zem faktora 96, ar dalītāju 2 iekavās:
4: 2 = 2
Iegūto atbildi 2 ierakstīsim citā aplī zem 96.
Tagad no 47 atņemiet 2 un reiziniet atbildi (45) ar galveno atsauces numuru (100). Rezultātā mēs iegūstam 4500:
Pēc tam reiziniet pirmos divus ciparus apļos (-4 x – 3 = 12) un pievienojiet rezultātu 4500. Rezultātā mēs iegūstam 4512:
Ja jums vajadzētu reizināt 96 un 23, jūs varētu izmantot 100 kā primāro atsauci un 25 (100:4) kā otro atsauci. Tas izskatītos šādi:
96 ir 4 mazāks par 100, un 23 ir 2 mazāks nekā 25. Tagad dalīsim 4 zem 96 ar 4 iekavās. 4 dalīts ar 4, iegūst 1. Ierakstīsim šo skaitli citā aplī zem 96:
Atņemiet 1 no 23, lai iegūtu 22. Reiziniet 22 ar bāzes atsauces skaitli 100, lai iegūtu 2200.
Sareizināsim skaitļus divos augšējos apļos.
4 x 2 = 8
Pievienojiet 8 uz 2200 un iegūstiet galīgo atbildi: 2208.
Ko darīt, ja mums vajadzētu reizināt ar 97 un 23? Vai mūsu stratēģija ir piemērojama šajā gadījumā? Pamēģināsim:
3 dalīts ar 4 ir 3/4. Atņemiet 3/4 no 23 (jums ir jāatņem 1 un jāpievieno 1/4) :
23 – 3/4 = 22 1/4
Viena ceturtdaļa kā decimāldaļa tiek rakstīta kā 0,25 (1/4 no 100 ir 25). Tādējādi:
22 1/4 x 100 = 2225
Sareizināsim skaitļus apļos.
Tādējādi mūsu metode šādos gadījumos darbojas vienlīdz labi.
Kā ar 88x343? Var izmantot kā atsauces numurus 100 un 350.