Страница 5 из 12
4. nodaļa Atbilžu pārbaude: pirmā daļa
Vai vēlaties pareizi atrisināt katru uzdevumu jebkurā skolas pārbaudījumā? Vai vēlaties iegūt tādas personas reputāciju, kas nekad nekļūdās aprēķinos? Ja tā, es iemācīšu jums pamanīt un izlabot kļūdu, pirms kāds pamanīs jūsu kļūdu.
Es saviem skolēniem bieži saku, ka matemātikā nepietiek ar atbildes izdomāšanu; problēma nav atrisināta, kamēr neesat pārbaudījis saņemto atbildi.
Es neizstrādāju atbilžu pārbaudes metodi, ko grasos jums piedāvāt. Matemātiķi par to ir zinājuši, iespējams, tūkstoš gadus, bet fakts ir tāds, ka vairumā valstu tas nez kāpēc nebija iekļauts skolu programmā.
Bērnībā es ļoti daudz kļūdījos aprēķinos tīri aiz neuzmanības. Es zināju, kā risināt problēmas un darīju visu pareizi. Bet atbilde joprojām izrādījās nepareiza. Es vai nu aizmirsu pārnest pakāpi, vai arī neuzmanības dēļ pierakstīju nepareizus skaitļus, un Dievs zina, kādēļ es pieļāvu kaitinošas kļūdas.
Skolotāji un vecāki man pastāvīgi atgādināja, ka man vienmēr ir jāpārbauda savi lēmumi. Bet vienīgais veids, kā es zinu, kā to izdarīt, ir vēlreiz atrisināt problēmu. Tomēr, ja atbilde bija atšķirīga, kā es varu zināt, kurā gadījumā tā ir pareiza? Varbūt es pirmo reizi problēmu atrisināju pareizi, bet, risinot vēlreiz, kļūdījos? Tāpēc mums problēma bija jāatrisina trešo reizi. Ja divas no trim atbildēm saskanēja, tad, kā es argumentēju, šī, iespējams, bija pareizā atbilde. Ko darīt, ja es vienkārši pieļautu vienu un to pašu kļūdu divas reizes? Man ieteica problēmu atrisināt divos dažādos veidos. Šis bija labs padoms. Tomēr testos nevienam netiek dots laiks vienu un to pašu problēmu atrisināt trīs reizes. Ja kāds tajā laikā man būtu iemācījis to, ko es jums mācīšu, es droši vien būtu pazīstams kā matemātikas ģēnijs.
Mani kaitina, ka šī metode tolaik bija zināma, bet neviens man to neiemācīja. To sauc par skaitļa ciparu saskaitīšanu vai devītnieku izmešanu. Tālāk ir norādīts, kā tas darbojas.
Aizvietošanas numuri
Lai pārbaudītu, vai atbilde ir pareiza, mēs izmantojam aizstāšanas skaitļus, nevis tos, kas izmantoti piemērā. Futbola vai basketbola komandas aizstājēji spēlē spēlētāju aizstāšanai. Līdzīgi darīsim ar cipariem, piemeklējot tiem piemērotus «rezerves». Pēdējais palīdzēs mums pārbaudīt, vai esam nonākuši pie pareizās atbildes ar galvenajiem uzdevuma skaitļiem.
Apskatīsim to ar piemēru. Pieņemsim, ka jūs tikko sareizinājāt ar 13 un 14 un ieguvāt 182. Jums jāpārbauda, vai šī ir pareizā atbilde.
13 x 14 = 182
Vispirms mums ir skaitlis 13. Atradīsim tā ciparu summu un iegūstam pirmo aizstāšanu:
1 +3 = 4
4 kļūst par aizstājējzīmi 13.
Nākamais skaitlis ir 14. Atradīsim arī tam aizstājēju, kuram saskaitām tā skaitļus:
1 +4 = 5
5 kalpo kā 14 aizstāšana.
Tagad veiksim reizināšanu, izmantojot aizstājējus, nevis sākotnējos skaitļus:
4 x 5 = 20
20 atkal ir divciparu skaitlis, tāpēc pievienosim tā ciparus un iegūsim mūsu kontrolnumuru, kas palīdzēs noteikt atbildes pareizību:
2 +0 = 2
2 ir kontroles skaitlis, ko izmanto, lai noteiktu atbildes pareizību.
Ja oriģinālo piemēru atrisinājām pareizi, tad atbildes ciparu summai jāsakrīt ar kontrolskaitli.
Mēs saskaitām saņemtās sākotnējās atbildes skaitļus:
1 +8 +2 = 11
11 ir divciparu skaitlis, bet mums ir nepieciešams viencipara skaitlis, tāpēc pievienosim tā ciparus:
1 +1 = 2
2 ir arī aizstāšanas numurs, bet šoreiz tiek pārbaudīta atbilde. Tā kā tas sakrita ar čeka numuru, piemērs tika atrisināts pareizi.
Mēģināsim vēlreiz, ņemot produktu 13 x 15:
13 x 15 = 195
1 +3 = 4 (aizstāt 13)
1 +5 = 6 (aizstāt 15)
4 x 6 = 24
24 ir divciparu skaitlis; Lai iegūtu nepārprotamu skaitli, saskaitīsim tā skaitļus:
2 +4 = 6
6 ir mūsu kontroles numurs.
Tagad, lai pārbaudītu, vai piemēru atrisinājām pareizi, saskaitīsim saņemtās sākotnējās atbildes skaitļus.
1 +9 +5 = 15
Pārvērsīsim 15 par viencipara skaitli:
1 +5 = 6
Tā kā šī atbilde sakrīt ar kontroles numuru, mēs varam būt pārliecināti, ka mēs neesam kļūdījušies, risinot sākotnējo piemēru.
Deviņnieku izmešana
Ir metode, kas ļauj vēl vairāk samazināt šīs procedūras laiku. Ikreiz, kad pārbaudes laikā savos aprēķinos sastopam skaitli 9, varam to droši izsvītrot. Iepriekš saņemtās atbildes gadījumā – 195 – tā vietā, lai atrastu summu 1 +9 +5, mēs varētu vienkārši izsvītrot 9 un pievienot tikai 1 +5, kas kopā iegūtu 6. Tas neietekmē rezultātu. jebkādā veidā, bet tas ļauj izvairīties no lieka darba un ietaupīt laiku. Man vienmēr patīk šādas lietas.
Kā ir ar atbildi uz pirmo atrisināto piemēru – 182?
Mēs pievienojām 1 +2 +8, lai iegūtu 11, un pēc tam pievienojām 1 +1, lai iegūtu kontrolskaitli 2. 182. gadā divi cipari tiek summēti 9: 1 un 8. Vienkārši izsvītrojiet tos, un rezultāts ir nepieciešamais skaitlis 2. Un jums nekas nav jādara.
Atrisināsim vēl vienu piemēru, lai redzētu, kā šī metode darbojas:
167 x 346 = 57782
1 +6 +7 = 14
1 +4 = 5
Ar pirmo numuru nebija nekādas viltības. 5 ir 167 aizstāšana.
3 +4 +6 =
Mēs uzreiz pamanām, ka 3 +6 = 9, tāpēc mēs izsvītrojam 3 un 6 tā, it kā tie nekad nebūtu bijuši. Atliek 4, kas ir skaitļa 346 aizstāšana.
Vai mūsu pārbaudāmajā atbildes piemērā ir deviņi vai skaitļi, kas kopā veido 9? Jā, ir: 7 +2 = 9, tāpēc mēs šos skaitļus izsvītrojam. Mēs saskaitām pārējos: 5 +7 +8 = 20. Tad 2 +0 = 2. Šis ir skaitlis, kas kalpo kā atbildes aizstāšana.
Parasti aizstāšanas skaitļus rakstu ar zīmuli virs vai zem piemēra faktoriem. Tas varētu izskatīties šādi:
Tātad, vai saņemtā atbilde bija pareiza?
Reizinām aizvietošanas skaitļus: 5 ar 4 iegūst 20. Skaitlī 20 esošo ciparu summa ir 2 (2 +0 = 2). Mēs saņēmām skaitli, kas vienāds ar kontroles numuru, tāpēc atbilde ir pareiza.
Apskatīsim citu piemēru:
456 x 831 = 368936
Rakstīsim aizstāšanas skaitļus zem faktoriem:
Tas nebija grūti, jo no pirmā reizinātāja izsvītrojām 4 un 5, un mums palika 6; tad no otrā faktora izsvītrojām 8 un 1, atstājot mums 3; un tad atbildē izdevās izsvītrot gandrīz visus ciparus.
Tagad redzēsim, ko mums dod aizstāšanas skaitļi. 6 reiz 3 ir vienāds ar 18, kuru cipari kopā ir 9, kurus var arī izsvītrot. Tas atstāj 0. Mūsu kontroles skaitlis ir 8. Tas nozīmē, ka mēs kaut kur pieļāvām kļūdu.
Atkārtoti atrisinot piemēru, mēs iegūstam 378936.
Vai šoreiz saņēmām pareizo atbildi? 936 var izsvītrot, pēc tam saskaitām pirmos trīs ciparus: 3 +7 +8 = 18, kas saskaita 9, kas arī atstāj 0, tāpēc to var izmest. Ir sakritība ar kontrolnumuru, kas nozīmē, ka šoreiz atbilde saņemta pareizi.
Vai devītnieku izmešanas metode pierāda, ka mums ir pareizā atbilde? Nē, bet mēs varam būt gandrīz droši, ka atbilde ir pareiza (skat. 16. nodaļu). Piemēram, pieņemsim, ka pēdējā piemēra atbildē mēs saņēmām 3789360, tā beigās kļūdaini pievienojot papildu nulli. Tas neatspoguļosies čekā, metot devītniekus, un mēs nevarēsim noteikt, vai ir pieļauta kļūda. Tomēr gadījumos, kad metodes izmantošana norāda uz kļūdu, mēs varam būt pilnīgi pārliecināti, ka tā ir.
Deviņnieku ripināšana ir vienkāršs un ātrs tests, kas ļauj viegli pamanīt kļūdas. Varat būt pārliecināts, ka metode palīdzēs atrisināt matemātikas pārbaudes darbus bez kļūdām.
Kā šī metode darbojas?
Padomājiet par skaitli un reiziniet to ar 9. Cik ir 4 reiz 9? 36. Saskaitīsim šī skaitļa ciparus (3 +6), un rezultāts būs 9.
Mēģināsim ar citu numuru. 3 reizes 9 ir vienāds ar 27. Saskaitiet skaitļus (2 +7) un atkal iegūstam 9.
11 reizes 9 ir 99. 9 plus 9 ir 18. Nepareiza atbilde? Ne tik ātri. 18 ir divciparu skaitlis, tāpēc saskaitīsim skaitļus vēlreiz: 1 +8. Atkal atbilde ir 9.
Ja jebkuru skaitli reizinat ar 9, iegūtā skaitļa summa vienmēr būs 9, ja turpināsiet pievienot ciparus, līdz iegūstat viencipara skaitli. Tas ir vienkāršs veids, kā noskaidrot, vai skaitlis dalās ar 9 bez atlikuma.
Ja skaitļa cipariem saskaita 9 vai tā daudzkārtni, tad pats skaitlis bez atlikuma dalās ar 9. Tieši tāpēc, ja jebkuru skaitli reizina ar 9 vai tā daudzkārtni, skaitļa cipari kas iegūts reizināšanas rezultātā, jāsaskaita 9 (līdz iegūstat viencipara skaitli). Piemēram, jums ir jāpārbauda, vai tālāk norādītais piemērs ir pareizi atrisināts:
135 x 83615 = 11288025
Saskaitīsim pirmā faktora skaitļus:
1 +3 +5 = 9
Lai pārbaudītu atbildi, mums nav jāpievieno otrā faktora (83615) cipari, jo mēs zinām, ka skaitļa 135 ciparu summa ir 9. Ja atbilde ir pareiza, arī tā cipariem ir jāsaskaita. līdz 9.
Atradīsim atbildes ciparu summu:
1 +1 +2 +8 +8 +0 +2 +5 =
Divreiz var izsvītrot 8 +1, atstājot 2 +2 +5, kas dod 9. Tātad, pārbaude parādīja, ka atbilde ir pareiza.
Var atklāt arī citas interesantas lietas.
Ja skaitļa cipariem tiek pievienots cits skaitlis, nevis 9, tad tas ir atlikums, ko iegūstat, dalot sākotnējo skaitli ar 9.
Ņemsim, piemēram, 14. 1 plus 4 dod 5. Tātad 5 ir skaitļu 14 summa. Tas ir atlikums, ko iegūstat, ja dalāt 14 ar 9. Pārbaudīsim: 14 tiek dalīts ar 9 vienreiz, un atlikums ir 14–9, kas veido 5. Ja skaitlim pievienojat 3, tad, dalot šo skaitli ar 9, atlikumam pievieno 3. Ja skaitli dubultojat, atlikums atkal dubultojas. Citiem vārdiem sakot, neatkarīgi no tā, ko jūs darāt ar skaitli, jūs to darāt ar atlikumu, dalītu ar 9, tāpēc šie atlikumi var kalpot kā aizstāšanas skaitļi.
Kāpēc mēs izmantojam atlikumus, dalītus ar 9? Vai nav iespējams izmantot atlikumus no dalīšanas, piemēram, ar 17? Protams, jūs varat, bet dalīt ar 17 ir tik sarežģīts, ka pārbaudīt, vai jūsu atbilde ir pareiza, galu galā būs grūtāk nekā pats uzdevums. Mēs izvēlamies skaitli 9, jo ir vienkāršs veids, kā noteikt atlikumu, dalot ar to.
Vairāk par to, kāpēc šī metode darbojas, uzzināsiet E pielikumā.