Логика

Конъюнкция истинна только в одном случае – когда оба ее члена истинны. Во всех остальных случаях мы считаем ее ложной. В общем, это кажется довольно естественным. Допустим, вы говорите своему избраннику: «Я выйду за тебя замуж и буду тебе верна». Вы действительно вышли замуж за этого человека и храните ему верность. Он доволен: вы его не обманули, конъюнкция в целом истинна. Второй случай: вы вышли замуж, но не храните верности своему мужу. Он негодует, считает, что вы его обманули, – конъюнкция ложна. Третий случай: вы не вышли замуж за того, кому обещали, хотя и храните ему верность, лелея воспоминания о первой и, увы, единственной любви. Опять-таки он в расстроенных чувствах: вы его обманули – конъюнкция ложна. Наконец, четвертый вариант: вы и замуж за него не вышли и, естественно, верности ему не храните. Ваш поклонник в бешенстве: вы его нагло обманули – конъюнкция ложна.

Аналогичные соображения оправдывают и таблицу истинности для дизъюнкции. Несколько сложнее обстоит дело с импликацией. Рассмотрим суждение «Если солнце взошло, на улице стало светло». Здесь импликация соединяет два простых суждения «Солнце взошло» и «На улице стало светло». Когда оба они истинны, то импликацию в целом мы считаем истинной. Теперь второй случай: солнце взошло, но на улице светло не стало. Если такое вдруг произошло, мы сочтем нашу импликацию ложной: видимо, чего-то мы не учли, когда формулировали такую связь между двумя суждениями. Третий случай: солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергнет ли это нашу импликацию? Отнюдь нет, такое вполне возможно: на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом солнца и наступлением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: солнце не взошло и светло не стало. Это вполне естественно, наша импликация остается истинной.

Поясняя таблицы истинности для логических связок, мы старались показать, что эти таблицы в какой-то мере соответствуют нашей языковой интуиции, нашему пониманию смысла союзов естественного языка. Однако не следует переоценивать степень такого соответствия. Союзы естественного языка гораздо богаче и тоньше по смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотношениям истинности или ложности простых высказываний. Более тонких смысловых связей логические связки не учитывают. Поэтому иногда возможно довольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка. С помощью этих связок создают программы для компьютеров, и теперь вы можете понять, какую часть нашего мышления способен усвоить и использовать компьютер.

5) Как разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, не разрезая при этом ни одного яблока на 12 частей? (Наложенное условие призвано исключить самое простое решение: разрезать каждое яблоко на 12 частей и дать каждому мальчику по одной дольке от каждого яблока или 6 яблок разрезать пополам, а 7-е яблоко разрезать на 12 частей.)

6) На одном острове живут два племени – молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На остров приезжает путешественник, который знает об этом, и, встретив местного жителя, спрашивает его: «Кто ты, из какого рода-племени?» «Я молодец!» – гордо отвечает абориген. «Вот хорошо, – обрадовался путешественник, – будешь моим проводником!» Гуляют они по острову и вдруг видят вдалеке еще одного аборигена. «Пойди спроси у него, – говорит путешественник своему проводнику, – из какого он племени?» Проводник сбегал вернулся и доложил. «Он сказал, что он – молодец!» «Ага, – подумал путешественник, – теперь я точно знаю, из какого племени ты сам!»

Как путешественник догадался, кем был его проводник?

Другие виды высказываний

Следует сказать хотя бы несколько слов о других типах – как простых, так и сложных – высказываний, изучаемых логикой.

Выше мы рассматривали суждения, которые просто констатировали, что между субъектом и предикатом некоторого суждения или между двумя суждениями имеется какая-то связь, никак не оценивая этой связи. Такие суждения называются ассерторическими. Наряду с ними в наш язык входят суждения, так или иначе оценивающие характер утверждаемой связи. Их называют модальными. Примеры: «Возможно, что существуют внеземные цивилизации», «Необходимо, что все тела падают на землю», «Случайно, что вчера шел дождь» и т.п. Слова, стоящие перед суждением и оценивающие характер выражаемой им связи – «возможно», «необходимо», «случайно» – и называются модальными словами или модальными операторами. Логика описывает различные модальности и выявляет логические связи между модальными высказываниями.

Большой интерес современной логики вызывают контрфактические высказывания – условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении, например: «Если бы в XIII в. русские князья были сплочены, они отразили бы татаро-монгольское нашествие»; «Если бы я был Наполеоном, то уж я-то не проиграл бы битву при Ватерлоо» и т.п.

Интерес к такого рода высказываниям обусловлен многими обстоятельствами. Во-первых, не ясно, каким должно быть их формальное представление. Если мы попытаемся представить эти высказывания в виде обычной импликации «a -> b», то сразу же получится, что все контрфактические высказывания истинны: импликация истинна, если ее первый член ложен, а в контрфактическом высказывании этот член всегда ложен, следовательно, все контрфактические высказывания при такой формализации следует признать истинными. Вряд ли с этим можно согласиться, поэтому до сих пор продолжаются поиски адекватной формализации таких высказываний.

Во-вторых, не совсем ясно, как отличить истинное контрфактическое высказывание от ложного и вообще можно ли говорить об их истинности или ложности. Мы считаем высказывание истинным, если оно соответствует действительности, т.е. реальность такова, как о ней говорится в высказывании. Но контрфактическое высказывание заведомо не соответствует действительности! Когда вы говорите: «Если бы сейчас было лето…» или «Если бы я не сломал ногу…», то подразумеваете при этом, что сейчас-то как раз не лето и нога у вас сломана. Тем не менее вопрос об истинности или ложности контрфактических высказываний не лишен смысла, ибо существуют противоположные контрфактические высказывания, с одним из которых мы согласны, а другое отвергаем, например: «Если бы я родился в XIX в., то я был бы современником Л. Толстого» и «Если бы я родился в XIX в., то я не был бы современником Л. Толстого». Только одно из этих двух контрфактических высказываний можно признать истинным. Но как обосновать истинность контрфактического высказывания? До сих пор это остается открытой проблемой.