Логика

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Таблицы истинности

Теперь мы подошли к очень важному и трудному вопросу. Сложное суждение – это тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики – на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Истинно или ложно суждение «Все киты – млекопитающие»? Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Истинно или ложно суждение «Железо тонет в воде»? Нужно обратиться к практике: бросим в воду какую-нибудь железку и убедимся, что это суждение истинно.

Короче говоря, вопрос об истинности или ложности простых суждений в итоге всегда решается посредством обращения к той реальности, к которой они относятся.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Пусть у нас имеется некоторая конъюнкция «a & b» и нам известно, что суждение «a» истинно, а суждение «b» ложно. Что можно сказать об этом сложном высказывании в целом? Если бы в реальности существовал объект, к которому относится связка «&», то трудности не возникло бы: обнаружив этот объект, мы могли бы сказать: «Есть! Конъюнкция истинна!»; обшарив все вокруг и не обнаружив соответствующего объекта, мы бы констатировали: «Конъюнкция ложна». Но дело в том, что логическим связкам – как, впрочем, и союзам естественного языка – в реальности ничего не соответствует! Это изобретенные нами средства связи мыслей или предложений, это – орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности. Поэтому вопрос об истинности или ложности высказываний с логическими связками – не вопрос конкретных наук или материальной практики, а чисто логический вопрос. И его решает логика.

Мы договариваемся или принимаем соглашения относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считать истинными, а когда – ложными. Конечно, в основе этих соглашений лежат некоторые рациональные соображения, однако важно иметь в виду, что это – наши произвольные соглашения, принятые в целях удобства, простоты, плодотворности, но не навязанные нам реальностью. Поэтому мы вольны изменять эти соглашения и делаем это, когда считаем нужным.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, показывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой считается истинным, а в каких – ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, являющихся компонентами сложного суждения. «Истина» («и») и «ложь» («л») называются «истинностными значениями» суждения: если переменная представляет истинное суждение, она принимает значение «истина»; если же – ложное, она принимает значение «ложь». Каждая переменная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным, поэтому таблица для отрицания выглядит следующим образом:

[FIXME]

Если исходное суждение истинно, то его отрицание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы считаем истинным. Кажется, такое соглашение соответствует нашей интуиции. Действительно, суждение «Байрон был английским поэтом» истинно, поэтому его отрицание «Неверно, что Байрон был английским поэтом» естественно считать ложным. Суждение «Афины находятся в Италии» ложно, поэтому его отрицание «Неверно, что Афины находятся в Италии» естественно считать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

[FIXME]

Все приведенные здесь связки соединяют два суждения. Для двух суждений имеется четыре возможности: оба могут быть истинными; одно истинно, другое – ложно; одно ложно, другое – истинно; оба ложны. Все эти возможности учтены как случаи 1-4.