Страница 25 из 34
Магическая математика вполне последовательно и мощно развивалась (хотя подробности этого нам неизвестны) и после Диофанта (который уже сам предполагает определенное развитие) вплоть до своего завершения в эпоху Аббасидов в IX в., как это доказывается уровнем знаний у Аль-Хорезми и Аль-Зиджи. Что означает рядом с евклидовой геометрией аттическая скульптура (тот же самый язык форм в ином обличье), что означает рядом с пространственным анализом полифонический стиль в инструментальной музыке, то же самое означает рядом с этой алгеброй магическое искусство мозаики, все с большим богатством развивавшиеся в империи Сасанидов, а позже в Византии арабески с их чувственно-бесплотным улетучиванием (Verschweben) органических формальных мотивов и горельефы константиновского стиля с неопределенной глубокой темнотой фона, оставленного между свободно изваянными фигурами. Как алгебра соотносится с античной арифметикой и западным анализом, так и купольная церковь соотносится с дорическим храмом и готическим собором.
Не то чтобы Диофант был великим математиком. То, из-за чего чаще всего вспоминают его имя, содержится не в его трактатах, а то, что в них содержится, вне всякого сомнения, не является всецело его собственностью. Его обязанное случаю значение заключается в том, что – насколько нам известно – у него первого с совершенной несомненностью заявило о себе новое ощущение числа. Сравнивая его с мастерами, завершавшими математику, такими как Аполлоний и Архимед в античной математике и соответствующие им Гаусс, Коши и Риман – в математике западной, мы находим у Диофанта, прежде всего в его формульном языке, нечто примитивное, что до сих пор охотно приписывалось позднеантичному упадку. Впоследствии мы это поймем и научимся ценить – по образцу той переоценки до сих пор прямо-таки презиравшегося якобы позднеантичного искусства в продвигающееся пока на ощупь самовыражение только еще пробуждающегося раннеарабского мироощущения. Такое же архаическое, примитивное и гадательное впечатление производит и математика Николая Оресма, епископа Лизье (1323–1382), впервые на Западе введшего свободную разновидность координат и даже степени с дробными показателями, которые предполагают – еще неясное, но несомненно наличное – ощущение числа, которое всецело неантично, но в то же время не походит и на арабское. Рядом с Диофантом вспоминаются раннехристианские саркофаги из римских собраний, а рядом с Оресмом – готические задрапированные статуи из немецких соборов, и нечто родственное можно заметить также и в ходе математических рассуждений, которые представляют у того и другого одну и ту же раннюю ступень абстрактного понимания. Стереометрическое ощущение границы в последней отточенности и изяществе какого-нибудь Архимеда, что предполагает интеллигенцию мировой столицы, уже давно исчезло без следа. Повсюду в раннеарабском мире господствует смутный, тоскливый, мистический настрой, аттических ясности и свободы нет и в помине. Здесь живут земнородные люди раннего ландшафта, а не такие обитатели крупных городов, как Евклид и Д’Аламбер[53]. Глубокие и усложненные построения античного мышления здесь больше не понимали, но располагали спутанными и новыми, отчетливая духовно-городская формулировка которых будет получена еще не скоро. Вот готическое состояние всякой юной культуры, через которое сама античность прошла еще в раннедорическую эпоху, от которой не сохранилось ничего, за исключением керамики дипилонского стиля. Лишь в Багдаде в IX и X вв. зрелые мастера, не уступавшие Платону и Гауссу, провели до конца и завершили концепции ранней эпохи Диофанта.
Решающим свершением Декарта, чья «Геометрия» вышла в свет в 1637 г., явилось не введение нового метода или точки зрения в области традиционной геометрии, как это постоянно изображают, но окончательная концепция новой идеи числа, которая выразилась в отделении геометрии от зрительных средств конструкции, вообще от измеренных и измеримых отрезков. Тем самым анализ бесконечно малых сделался свершившимся фактом. Декарт, если проникнуть в глубину его помыслов, не усовершенствовал жесткую, так называемую декартову систему координат, это идеальное представление измеримых величин в полуевклидовом смысле, которая имела величайшее значение в предыдущий период, например у Оресма, но ее преодолел. Его современник Ферма был ее последним классическим представителем.
На место чувственного момента конкретных отрезков и поверхностей, этого специфического выражения античного ощущения границы, заступает абстрактно-пространственный, а значит, неантичный момент точки, характеризуемой отныне как группа взаимноупорядоченных чистых чисел. Декарт уничтожил пришедшее из античных текстов и арабской традиции понятие величины, чувственного размера, и заменил его переменным значением соотношения положений в пространстве. Это было упразднение геометрии как таковой, которая начиная с этого момента ведет в пределах числового мира лишь призрачное, завуалированное античными реминисценциями существование, однако этого никто не заметил. Слово «геометрия» ни за что не отлучить от присутствующего в нем аполлонического смысла. Начиная с Декарта эта якобы «новая геометрия» представляет собой либо синтетическую деятельность, которая числами определяет положение точек в теперь уже не обязательно трехмерном пространстве («точечное многообразие»), либо аналитическую, которая определяет уже числа положением точек. Однако заменить отрезки положениями – это значит понимать протяжение теперь уже чисто пространственно, а не телесно.
Мне представляется, что классическим примером этого уничтожения наследия доставшейся от предыдущих поколений конечно-оптической геометрии является обращение круговых функций (которые в каком-то едва ли постижимом для нас смысле были «числами» индийской математики) в циклометрические с их последующим разложением в ряды, утратившие в бесконечной числовой области алгебраического анализа хотя бы самое отдаленное напоминание о геометрическом образе в духе Евклида. Число круга, π, возникая повсюду вновь и вновь в этой числовой области в качестве основания натуральных логарифмов е, порождает отношения, изглаживающие все границы прежних геометрии, тригонометрии и алгебры, которые не имеют теперь ни арифметического, ни геометрического характера: теперь в связи с ними никто более не имеет в виду ни действительно вычерченного круга, ни степеней, которые следует вычислить.
Между тем как благодаря Пифагору ок. 540 г. античная душа пришла к открытию своего, аполлонического числа как измеримой величины, душа Запада в точно соответствующий временной момент отыскала благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, родившуюся из неодолимого фаустовского пристрастия к бесконечному. Число как чистая величина, пристегнутая к телесному присутствию единичной вещи, находит свое контрастное подобие в числе как чистом отношении[54]. Если античный мир, космос, исходя из его глубокой потребности в зримой ограниченности, может быть определен как исчисленная сумма материальных вещей, то наше мироощущение осуществилось в картине бесконечного пространства, в котором все зримое, как обусловленное в противоположность необусловленному, воспринимается едва ли не как действительность второго порядка. Его символом оказывается решающее понятие функции, и намека на которое нет ни в одной другой культуре. Функция – это отнюдь не расширение какого бы то ни было из существующих понятий числа; она представляет собой полное его преодоление. Тем самым для действительно значимой математики Западной Европы утрачивает ценность не только евклидова, а значит, «общечеловеческая», основанная на повседневном опыте геометрия детей и профанов, но и архимедова сфера элементарного счета, арифметика. Отныне существует лишь абстрактный анализ. Для людей античности геометрия и арифметика были замкнутыми в самих себе и совершенными науками высшего ранга; процедуры той и другой были наглядными, имевшими дело с величинами через черчение или счет. Для нас же они – лишь практические вспомогательные средства повседневной жизни. Два античных метода вычисления величин, сложение и умножение, эти братья графических построений, полностью исчезают в бесконечности функциональных процессов. Сама степень, являющаяся поначалу лишь числовым обозначением определенной группы умножений (для произведений одинаковых величин), оказывается – в новом символе экспоненты (логарифма) и его применении в комплексной, отрицательной, дробной форме – всецело отделенной от понятия величины и переведенной в мир трансцендентных отношений, который должен был оставаться недоступным грекам, знавшим лишь две положительные, целочисленные степени в качестве представителей поверхностей и тел, – довольно будет привести такие выражения, как
53
Во II в. по Р. X. Александрия уже не была мировой столицей, а превратилась в оставшуюся от эпохи античной цивилизации массу домов, в которых обитало наделенное примитивными ощущениями, иное в душевном плане население. Ср. с. 606.
54
Это в точности отвечает соотношению монеты и двойной бухгалтерии в денежном мышлении той и другой культуры, ср. с. 1029 слл.