Страница 79 из 89
Ответы
1) Сначала рассмотрим опцион с ценой исполнения $40. Вероятность его исполнения равна N(d2).
d2 = [ln(S /K) + (r − q – σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =
= [ln(50 ÷ 40) + (0,07 − 0,05 − 0,36 ÷ 2) × 0,25] ÷ [0,6 × 0,5] =
= [0,223 − 0,04] ÷ [0,3] = 0,61.
N(d2) = N(0,61) = 0,7291.
Для K = $60 имеем:
d2 = [ln(S /K) + (r − q − σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =
= [ln(50 ÷ 60) + (0,07 − 0,05 − 0,36 ÷ 2) × 0,25] ÷ [0,6 × 0,5] =
= [−0,182 − 0,04] ÷ [0,3] = −0,74.
N(d2) = N(−0,74) = 0,2296.
2) В случае исполнения опционов инвестор должен будет потратить 5 × $60 = $300 на покупку акций. В случае неисполнения опционов затраты инвестора равны 0. Средние затраты AC (average costs) будут равны затратам на исполнение, умноженным на вероятность исполнения опционов.
AC = 300 × N(d2).
В данной задаче:
S = 50;
K = 60;
r = 8 % = 0,08;
σ = 70 % = 0,7;
T = 0,5.
d2 = [ln(S /K) + (r – σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =
= [ln(50 ÷ 60) + (0,08 − 0,49 ÷ 2) × 0,5] ÷ [0,7 × 0,707] =
= [−0,182 − 0,083] /[0,495] = –0,54.
N(d2) = N(−0,54) = 1 − N(0,54) = 0,2946.
AC = 300 × 0,2946 = 88,38.
3) Из паритета пут-Колл P = C + K × e−rT − S = 5 + 49 × e−0,05 × 0,25 − 50 = 5 + 48,39 − 50 = 3,39.
II. «Греки» – параметры, используемые в управлении портфелем
«Греки» (greeks) – производные цены опциона – играют большую роль в теории управления портфелями, состоящими из опционов и акций.
Ниже приведены формулы производных («греков») и объясняется их смысл. Рассмотрен колл-опцион на акции, по которым непрерывно начисляется дивиденд по ставке q. Аналогичные формулы для валютных и фьючерсных опционов могут быть получены путем замены q на соответственно ставку доходности в валюте или ставку безрисковой доходности.
1. Дельта
Дельта (Delta) – производная цены опциона по текущему курсу акций. Она показывает, как изменится стоимость опциона при изменении цены акции на 1 единицу (один рубль, один доллар и т. д.):
delta = dC/dS.
Дельта измеряется в процентах и позволяет составлять портфель, не чувствительный к изменению курса актива при малом изменении цены акции. Такой портфель называют дельта-нейтральным. Например, он может состоять из проданных двух пятидесятидельтовых коллов и купленной акции (2 опциона × 50 %) = 1 акция. Здесь 1 акция страхует (хеджирует) 2 опциона от потерь.
Если цена акции поднимется на 1 руб., то цена двух опционов поднимется также на 1 руб. (1 руб. × 2 × 50 %). Поскольку коллы были проданы, ваши потери составят 1 руб. Но потери будут компенсированы заработком на одной акции, которая подорожает на 1 руб. В итоге стоимость портфеля не изменится.
Дельта широко используется маркетмейкерами. Она позволяет покупать или продавать опционные позиции и немедленно хеджировать эти позиции на рынке базового актива.
Для дельты верна следующая формула:
delta = e−qT × N(d1).
2. Тета
Тета (theta) – производная цены опциона по времени. Она показывает, как цена опциона меняется с течением времени. Для европейского опциона ее значение всегда меньше нуля. Формула theta имеет вид:
theta = e−qT × [(−1) × S × n(d1) × σ ÷ (2√T) + q × S × N(d1)] − r × K × N(d2) × e−rT.
Здесь n(x) = exp{(−1) × x² ÷ 2} /√(2π) – плотность стандартного нормального распределения.
Отсюда видно:
• чем выше ставка q и ниже ставка r, тем меньше падает цена опциона с каждым прошедшим днем;
• чем выше волатильность, тем больше падает цена опциона с каждым прошедшим днем.
Тета – очень важный показатель. Она выражает стоимость держания опционной позиции. Инвесторы, держащие опционную позицию в ожидании благоприятного движения цены основного актива, каждый день теряют часть стоимости позиции. Поэтому они должны быть очень внимательны к величине теты.
3. Гамма
Гамма (gamma) – вторая производная цены опциона C по цене актива S. Если дельта – скорость автомобиля, то гамма – его ускорение.
Гамма предсказывает, насколько изменится дельта при изменении S. Чем меньше гамма, тем дельта менее чувствительна к изменению цены. Вернемся к понятию дельта-нейтрального портфеля: он не чувствителен к изменению курса актива при малом изменении цены акции. Если же изменение больше «малого», необходимо некое изменение в размере хеджа (увеличение или уменьшение количества акций), чтобы портфель остался безрисковым.
Для гаммы справедлива следующая формула:
gamma = [n(d1) × e−qT] ÷ [S × σ × √T].
Предположим, что dS – изменение цены актива за сравнительно малый отрезок времени dT, а dП – соответствующее изменение цены портфеля. Тогда для дельта-нейтрального портфеля
dП = theta × dT + gamma × dS² ÷ 2.
Владелец портфеля с положительным значением гаммы (купивший опционы, «длинная гамма») выигрывает при значительных колебаниях цены и проигрывает при небольших изменениях.
Владелец портфеля с отрицательным значением гаммы (продавший опционы, особенно краткосрочные) проигрывает тем больше, чем больше колебание цены. Отсюда следует, что для актива с большой волатильностью выгоднее иметь позицию с положительной гаммой, а для актива с маленькой волатильностью выгоднее иметь позицию с отрицательной гаммой.
4. Взаимосвязь параметров
Все три величины – delta, gamma и theta – взаимосвязаны. Если C – цена опциона, а S – цена актива, то
theta + (r − q) × S × delta + (σ² ÷ 2) × S² × gamma = r × C.
Из формулы следует, что при изменении одного из параметров остальные два также изменяют свое значение. Эта формула наглядно демонстрирует, что два опциона с одинаковой ценой и разным значением одного из «греков» не могут иметь одинаковые значения других «греков».
5. Вега
До сих пор мы предполагали, что волатильность актива постоянна. Однако в реальной жизни это не так. Поэтому имеет смысл рассматривать вегу (vega) – значение производной цены опциона C по волатильности σ. Вега измеряется в процентах и показывает, насколько цена опциона чувствительна к изменению волатильности актива, т. е. как изменится стоимость опциона при увеличении волатильности на один процент.
Значение веги можно найти по следующей формуле:
vega = S × √T × n(d1) × e−qT.
Величина вега очень важна для маркетмейкеров. Даже если портфель дельта-нейтральный, они могут потерять деньги или получить дополнительную прибыль при изменении волатильности. Если маркетмейкер ожидает, что волатильность увеличится, он должен попытаться сформировать портфель с положительным значением веги, и наоборот. Если у него нет никаких ожиданий относительно веги, он должен сформировать вега-нейтральный портфель, т. е. портфель, не чувствительный к изменению волатильности. Такой портфель может быть получен только путем покупки или продажи других опционов. Обычно волатильность оценивается не для всей позиции, а отдельно по позициям, имеющим одну дату исполнения. Например, вега для одномесячных опционов, вега для двухмесячных опционов и т. д.
6. Ро