Страница 28 из 72
Диалектика, являясь наукой «о всеобщих законах движения и развития природы, человеческого общества и мышления»,[134] как известно,[135] рассматривает мир в целом, вещи, явления и их умственные отражения – в их взаимной связи, во взаимных переходах одних в другие, в движении и развитии, в их возникновении и уничтожении, в единстве и борьбе противоположностей.
Совокупность знаний о мире с диалектико-материалистической точки зрения есть постоянно уточняющийся в процессе познания образ действительности, причем необходимой основой познания мира и критерием истинности этого познания является человеческая практика, способная на базе уже открытых законов изменять мир.
В основе диалектического взгляда на объективную действительность лежит признание того, что все явления противоречивы и их развитие идет путем движения противоречий, причем на каждой ступени развития проявляются черты, свойственные явлению на прежних ступенях развития, но проявляющиеся уже в ином, обогащенном виде, приобретая новое значение и новое содержание. Правильное понимание действительности может быть достигнуто лишь при рассмотрении действительного мира в движении и единстве всех противоречивых сторон, свойств, связей и отношений.
В. И. Ленин писал, что если пытаться кратко выразить ядро диалектики, то она должна быть определена «как учение о единстве противоположностей».[136]
Математика и диалектика прежде всего выступают как разные науки. Математика представляется чисто формальным методом, который, исходя из абстрактных неопределяемых понятий и недоказываемых утверждений (аксиом), пользуясь формальными, установленными внешним образом правилами, получает вытекающие из этих аксиом выводы, затем добавляет столь же формальным, внешним образом формальные определения, вводит формальные предпосылки, получает новые выводы о связях между предпосылками, аксиомами, определениями и прежними выводами и т. д. В зависимости от комбинации неопределяемых понятий, аксиом, определений и предпосылок образуется та или иная область математического исследования, вырастает та или иная ветвь математики, которая либо развивается независимо, либо соединяется с другими, проникает в другие или поглощается ими. Поскольку формально-аксиоматический метод есть абстрактный, дедуктивный метод, применяемый к абстрактным понятиям, его выводы безоговорочно относятся только к тем абстрактным понятиям, которые находятся внутри математики,[137] зато выводы эти имеют вид абсолютных истин.[138] Последнее всегда вызывало зависть у тех, кто глядел со стороны на грандиозное, монолитное сооружение математики, перестраиваемое, казалось, лишь для того, чтобы сделать путь от предпосылок к выводам короче, а выводы – более глубокими и общими.
Но было бы недиалектично ограничиваться указанием на то, что математика и диалектика – разные науки. Диалектика требует, чтобы наряду с этим указанием было принято во внимание и положение об их единстве. Математика – абстрактная наука. Но понятия диалектики, с помощью которых она отражает мир, также суть абстракции. И вообще разве есть хоть одна наука о действительном мире, которая оставалась бы наукой, а не собранием сведений, лишь приведенных в некоторый порядок, если бы она не пользовалась абстракциями? Ведь не случайно Энгельс говорил, что «общий закон изменения формы движения гораздо конкретнее, чем каждый отдельный „конкретный” пример этого».[139] Поэтому в абстрагировании скорее не противоположность, а единство диалектики и математики. Математика является лишь особого рода абстрактным отражением определенных сторон реальной действительности. В чем же принципиальное различие диалектики и математики?
Каждому диалектическому понятию соответствует некоторое действительное явление, действительный объект, и это понятие о нем уточняется в ходе познания. В математике понятия числа, операции, пространства, функции и т. д. также суть отражения вполне реальных объектов и их отношений. В то же время отнюдь не каждое математическое понятие связывается непосредственно с каким-либо реальным объектом: устанавливать такие связи – дело наук, использующих математику. Математическое понятие, кроме того, в отличие от всех прочих, есть некоторая неизменная, раз навсегда заданная абстракция.
Математические понятия, будучи определены, не способны к саморазвитию, поэтому изображать развитие с помощью математических абстракций возможно в ряде случаев лишь путем смены этих абстракций, отражая в них разные стороны, а также моменты движения действительного явления, получая тем самым все более уточняющийся образ этого явления.
Для диалектики движение понятий определяется движением явлений и уточняется в процессе познания. Энгельс писал, что «только она представляет аналог и тем самым метод объяснения для происходящих в природе процессов развития, для всеобщих связей природы, для переходов от одной области исследования к другой».[140] Для математики правила вывода заданы заранее, заданы извне, заданы формально. Но каковы бы ни были мотивы выбора этих правил, если они отвечают связям и движению тех сторон явлений, которые верно изображаются математическими абстракциями, мы получим верный результат. А если будем подбирать все более подходящие математические понятия и все более подходящие правила выбора, то в итоге это и будет означать, что как наши формальные математические понятия, так и формальные правила вывода в своей смене, в своем движении перестают быть противоположными понятиям и правилам диалектики и становятся лишь разновидностью диалектических понятий и законов мышления. Диалектика открывает нам новые истины, но и математика, перерабатывая одни понятия и суждения в другие, представляет, например, скрытое (теорема) в явном виде (ее доказательство).
Методологически вопрос о применении математики в науках о действительности сводится, следовательно, к тому, где, для чего, какие математические абстракции применять, какие предпосылки и определения брать, какими правилами вывода в каждом конкретном случае пользоваться, как оценивать полученные математическим путем результаты. Вот почему только другие, нематематические методы исследования могут дать оценку применению математики, обеспечить проверку полученных с помощью математики выводов, подсказать пути дальнейшего внедрения математики. Нужен опыт применения математики в соответствующей области, проверка полученных математическим путем результатов на практике, выработка и использование адекватного данной области исследования математического аппарата. Так возник и развивается аппарат механики и физики, таков же путь внедрения математики во все другие науки, понятия которых на известной ступени развития науки становятся доступными математической обработке.
Математика как одна из форм познания материального мира неотделима от гносеологии и тем самым от диалектики. В то же время математические теории применимы к действительности диалектически только в своем отрицании, т. е. непременно в смене и уточнении этих теорий, в процессе применения различных математических средств к одному и тому же явлению, в процессе исследования одной и той же стороны явления разными математическими методами. Каждая отдельная математическая теория, даже если она изображает движение, является неизменной, неподвижной абстракцией, причем ни одна математическая теория, будучи взята в отдельности, не даст о явлении больше знаний, чем заложено неявно в ее предпосылках. Попытки построить раз навсегда законченную, неуточняемую математическую теорию, изображающую некоторый действительный процесс – например, экономического развития, – являются попытками остановить движение познания. Напротив, абстрагирование, выделение в специальный объект исследования отдельных сторон, связей и отношений действительности, которое составляет суть математики, если оно делается с сознанием неполноты исследования, с сознанием того, что результаты верны в той узкой области, где данные математические абстракции хорошо отражают действительность, такое абстрагирование составляет важный этап в познании явлений, необходимый и безусловно признаваемый как один из методов их исследования.
134
Там же, т. 20, с. 145.
135
Там же, с. 22; Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 202–203.
136
Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 203.
137
«…Математические абстракции имеют безусловную значимость только в пределах чистой математики» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 584).
138
Наверное, поэтому «математики метафизического пошиба горделива кичатся абсолютной непреложностью результатов их науки» (там же, с. 382).
139
Там же, с. 537.
140
Там же, с. 367.