Страница 7 из 9
В начале ХХ века Россу был необходим именно такой подход. Когда он доказал, что малярию разносят комары Anopheles, многие его коллеги считали, что контроль численности комаров не поможет в борьбе с болезнью. Это делало описательный анализ невозможным: как оценить предлагаемые меры, если они не используются? Однако благодаря своим моделям Росс убедился, что долговременное снижение численности комаров должно дать результат. Оставалось лишь убедить всех остальных.
Сегодня нам кажется странным, что идеи Росса встретили такое сопротивление. Дело в том, что, несмотря на бурное развитие эпидемиологии как науки и появление новых методов анализа заболеваний, медицинское сообщество относилось к малярии не так, как Росс. По сути, это было столкновение двух разных философий. Большинство медиков подходили к малярии с описательным инструментарием: изучая вспышки болезни, они прибегали к классификации, а не к расчетам. Но Росс настаивал на том, что процессы, лежащие в основе эпидемий, нужно анализировать количественными методами. «По сути, эпидемиология – это предмет математического анализа, – писал он в 1911 году. – И в ней было бы меньше нелепых ошибок (например, в отношении малярии), если бы больше внимания уделялось ее математическому изучению»[35].
Прошло еще много лет, прежде чем меры регулирования численности комаров получили широкое применение. Росс не дожил до тех времен, когда заболеваемость малярией существенно снизилась: в Англии болезнь существовала вплоть до 1950-х годов, а в континентальной Европе была побеждена только в 1975 году[36]. Его идеи постепенно находили понимание, но Росс жаловался, что процесс идет медленно. «Миру требуется не меньше десяти лет, чтобы понять новую идею, – писал он, – какой бы важной или простой она ни была».
Со временем к Россу присоединились другие. Одним из участников экспедиции 1901 года в Сьерра-Леоне был молодой врач из Глазго Андерсон Маккендрик. Он получил высшие баллы на экзаменах Индийской медицинской службы и после поездки в Сьерра-Леоне должен был отправиться в Индию[37]. На обратном пути в Британию Маккендрик и Росс долго беседовали о математических аспектах эпидемий. В последующие годы они продолжали обмениваться идеями. В конце концов Маккендрик в достаточной степени овладел математикой, чтобы попытаться развить анализ Росса. «Прочел вашу работу, – писал он Россу в августе 1911 года. – Я пытаюсь прийти к тем же выводам с помощью дифференциальных уравнений, но это очень трудная задача, и мне приходится расширять свои познания в математике в новых направлениях. Не уверен, что смогу получить то, чего хочу, но “следует пробовать даже то, что может казаться невозможным”»[38].
Маккендрик подвергся резкой критике со стороны статистиков, в том числе Карла Пирсона, который опирался исключительно на описательный анализ и отвергал механистические методы Росса. «Сторонники Пирсона, как всегда, все смешали в кучу, – писал Маккендрик Россу, прочитав некорректный анализ малярийных эпидемий. – Я не испытываю симпатии ни к ним, ни к их методам»[39]. Традиционный описательный подход был и остается важной частью медицинской науки, но он мало помогает понять, как происходит процесс передачи инфекции. Маккендрик был убежден, что будущее анализа эпидемий за более динамичным способом мышления. Росс придерживался той же точки зрения. «Рано или поздно появится новая наука, – однажды сказал он Маккендрику. – Но сначала мы с вами должны отпереть дверь, чтобы затем в нее вошли все, кто этого захочет»[40].
Летним вечером 1924 года во время эксперимента, который проводил Уильям Кермак, произошел взрыв, и едкая щелочь попала ему в глаза. Химик по образованию, Кермак изучал методы анализа спинномозговой жидкости. В тот вечер в лаборатории Королевского колледжа Эдинбурга он работал один. Ему пришлось два месяца провести в больнице, и после этого несчастного случая 26-летний Кермак полностью ослеп[41].
Во время пребывания в больнице Кермак просил друзей и сиделок читать ему книги по математике. Понимая, что зрение к нему не вернется, он тренировался получать информацию другим путем. У него была превосходная память, и математические задачи он решал в уме. «Просто невероятно, как много он мог сделать, не имея возможности записать что-либо на бумаге», – восхищался его коллега Уильям Маккри.
Выписавшись из больницы, Кермак продолжил заниматься наукой, но переключился на другие области. Он оставил химические опыты и начал разрабатывать новые проекты. В частности, он работал над математическим обеспечением исследований вместе с Андерсоном Маккендриком, который возглавил лабораторию в Эдинбурге. Проработав в Индийской медицинской службе два десятка лет, в 1920 году Маккендрик уволился и вместе с семьей переехал в Шотландию.
Кермак и Маккендрик развивали идеи Росса, пытаясь применить их к эпидемиям в целом. Они сосредоточились на одном из главных вопросов в изучении болезней: что приводит к окончанию эпидемии? В то время существовало два популярных объяснения. Либо передача инфекции прекращалась потому, что не оставалось восприимчивых к ней людей, либо по мере распространения эпидемии патоген становился менее заразным. Как выяснилось, в большинстве случаев оба объяснения неверны[42].
Как и Росс, Кермак и Маккендрик начали с разработки математической модели передачи болезни. Для простоты они предположили, что население перемешивается случайным образом. Подобно тому как это происходит при встряхивании камешков в сосуде, каждый человек в популяции обладает равными шансами встретиться с любым другим. В их модели эпидемия начиналась с определенного количества больных людей, а все остальные были восприимчивы к инфекции. После выздоровления человек приобретал иммунитет. Таким образом, всех людей в популяции можно разделить на три группы на основе их состояния:
Эту модель часто называют «моделью SIR» – по первым буквам названий групп (англ. susceptible, infectious, recovered). Предположим, в популяции численностью 10 тысяч человек один человек заболевает гриппом. Если мы смоделируем эпидемию гриппа с помощью модели SIR, то получим следующую кривую:
Модель SIR для эпидемии гриппа
Смоделированная здесь эпидемия развивается медленно, поскольку начинается с одного зараженного человека, но через 50 дней все равно достигает пика. Через 80 дней она практически заканчивается. Обратите внимание, что в конце эпидемии по-прежнему остается какое-то количество восприимчивых людей. Если бы заразились все 10 тысяч человек, то все они в конце концов попали бы в группу «Выздоровевшие». Модель Кермака и Маккендрика указывает на то, что этого не случится: вспышка заболевания может закончиться прежде, чем переболеют все до единого. «В общем случае эпидемия заканчивается раньше, чем заканчивается восприимчивое население», – писали они.
Почему заражаются не все? Все дело в переломе, который происходит в середине вспышки. На ранних этапах эпидемии восприимчивых людей много. В результате каждый день число новых зараженных превышает число выздоровевших, и эпидемия набирает обороты. Но со временем количество восприимчивых людей сокращается. Когда их становится достаточно мало, тенденция обращается вспять: ежедневно число выздоровевших превышает число зараженных, и эпидемия идет на спад. Еще остаются восприимчивые к инфекции люди, которые могут заразиться, но их немного, и у любого заболевшего больше шансов выздороветь, чем заразить кого-то еще.
35
Ross R., ‘The Mathematics of Malaria’, The British Medical Journal, 1911.
36
Reiter P., ‘From Shakespeare to Defoe: Malaria in England in the Little Ice Age’, Emerging Infectious Diseases, 2000.
37
Биографические данные Маккендрика взяты из Gani J., ‘Anderson Gray McKendrick’, StatProb: The Encyclopedia Sponsored by Statistics and Probability Societies.
38
Письмо GB 0809 Ross/106/28/60. Courtesy, Library & Archives Service, London School of Hygiene & Tropical Medicine. © Ross Family.
39
Письмо GB 0809 Ross/106/28/112. Courtesy, Library & Archives Service, London School of Hygiene & Tropical Medicine. © Ross Family.
40
Heesterbeek J.A., ‘A Brief History of R0 and a Recipe for its Calculation’, Acta Biotheoretica, 2002.
41
Биографические данные Кермака взяты из Davidson J.N., ‘William Ogilvy Kermack’, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, 1971; Coutinho S.C., ‘A lost chapter in the pre-history of algebraic analysis: Whittaker on contact transformations’, Archive for History of Exact Sciences, 2010.
42
Kermack W.O. and McKendrick A.G., ‘A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics’, Proceedings of the Royal Society A, 1927.