Удивительные числа Фибоначчи

Дальнейшая программа развития этого растения при благоприятных условиях нам уже хорошо известна.

Возможно, вам, Ребята, придется услышать такую формулировку: «Даже галактики закручиваются, подчиняясь закону Фибоначчи!» Подобные формулировки в основе своей неправильны и просто невежественны! Природные явления не подчиняются закономерностям, которые открыли люди! Они существовали, существуют и будут существовать всегда, вне зависимости от их открытия людьми или какими-либо другими существами, которые сами являются творениями Природы. Правильно, надо говорить: «Формирование галактических спиралей математически можно описать числовой последовательностью, которую впервые определил Леонардо Пизанский».

Но давайте поинтересуемся, есть ли у это числового ряда зеркальное отражение? Ведь мы начали с двух единиц. А это значит, что вторая единица получилась в результате сложения предыдущей единицы с каким-то другим числом. Совершенно ясно, что это число — ноль. Тогда первая единица является суммой этого нуля и какого-то числа. Понятно, что число — один. Число ноль является суммой этой единицы и еще одной единички, к которой следует прикрепить знак «минус». И вот эта минусовая единичка может сложиться только с числом два, чтобы получилась просто единичка. Продолжая таким образом, мы, с удивлением, увидим, что в зазеркалье числа «Фибоначчи» имеют прикрепленный минус только через одного!

И, как обычно, подружившись с кем-нибудь или с чем-нибудь, возникает желание поиграть.

Как же можно поиграть с числами «Фибоначчи?» Ну, например, давайте попробуем поиграть в «чехарду», когда предыдущий перескакивает через текущего и становиться следующим. С числами можно тоже так поиграть.

Например, мы теперь знаем, что пять получается в результате сложения числа три и числа два. А можем ли мы получить число пять в результате сложения числа два и числа один, то есть предпредыдущих чисел?

Если мы удвоим число два и прибавим один, то получим пять. А если удвоим число три и прибавим два, то получим восемь. А если удвоим число пять и прибавим три, то, как уже всем понятно, получим тринадцать.

А как получить число тринадцать из трех и двух? Попробуем утроить число три и прибавить два. Упсс! Получится одиннадцать. А нам надо тринадцать! Что мы сделали не так? Мы увеличили один множитель, но совершенно забыли увеличить второй. Исправим эту оплошность и проверим. Три умножить на три и прибавит удвоенное два. Получилось! В смысле, получилось тринадцать.

А теперь давайте узнаем десятое число, не узнавая пока, девятое число. Итак! Шестое число — восемь. Седьмое число — тринадцать. Шестое число удвоим. Будет шестнадцать. Седьмое число утроим. Получится тридцать девять. Теперь, осталось их сложить, и получить пятьдесят пять.

Обратите внимание, Ребята, что число пятьдесят пять — это сумма чисел от одного до десяти. Проверим! Десять умножим на одиннадцать и разделим пополам. Значит, десятое число ряда накопительных сумм натуральных чисел совпадает с десятым числом ряда «Фибоначчи». На этом этапе ряд «Фибоначчи» догнал ряд накопительных сумм, и в дальнейшем, уже недосягаемо, «уйдет в отрыв».

А теперь давайте узнаем число из ряда «Фибоначчи» под номером девять. Для этого просто вычтем из пятидесяти пяти двадцать один. Получим тридцать четыре. Проверим другим способом. К двадцати одному прибавим тринадцать, или к удвоенному числу тринадцать (двадцать шесть) прибавим восемь, или к утроенному числу восемь (двадцать четыре) прибавим удвоенное число пять (десять). Есть еще варианты? Безусловно есть!

Попробуем к пяти, умноженному на четыре, прибавить утроенную тройку. Получилось двадцать девять. Что-то сделали не так! Не хватает пятерки! Значит, пять нужно умножать не на четыре, а на пять! А! Вот в чем хитрость!

Умножать надо только на те числа, которые сами входят в ряд «Фибоначчи!»

Для проверки, умножим шестое число на пятое (сорок), прибавим пятое число, умноженное на четвертое (пятнадцать). Получим десятое число (пятьдесят пять). Неужели мы обнаружили закономерность чисел «Фибоначчи» по номерам? Ведь, шесть плюс пять, плюс еще пять, и плюс четыре будет двадцать. А если двадцать поделить пополам будет десять!

Но, ни в коем случае не следует делать каких-либо выводов, основываясь на единичных фактах!

Однако, обнаруженное совпадение, можно рассматривать как повод установить закономерность...

Давайте проверим! Пятое число умножим на четвертое, и прибавим четвертое число умноженное на третье. По нашим предположениям, должно получится (пять плюс четыре плюс четыре плюс три, все деленное на два) восьмое число. Проверяем! Пятью три плюс трижды два. Получим двадцать один. Это и есть число под номером восемь.

Но даже и теперь, мы обязаны проверить наше предположение! Немного усложним условие! Число под номером шесть (восемь) умножим на число под номером четыре (три). Затем, число под номером четыре умножим на число под номером два (один). По нашим предположениям снова должно получиться (шесть плюс четыре плюс четыре плюс два, и пополам) восьмое число... Но произведя вычисления мы получим (восемь умножить на три плюс трижды один) двадцать семь. Это число не входит в последовательность «Фибоначчи». Какая досадная ошибка! Что же опять не так? Мы усложнили условие тем, что увеличили разницу между номерами. Не надо было так делать? Вернемся к этому вопросу чуть позже. А пока, еще раз проверим наше предположение без усложнения условий. Число номер семь (тринадцать) умножим на число шесть (восемь). И, к результату прибавим шестое число помноженное на пятое число (пять). Итак, по расчетам (семь плюс шесть плюс шесть плюс пять, и пополам) должно получится число номер двенадцать, значение которого мы еще не знаем. Ну и хорошо! При проверке узнаем!

Тринадцать умножим на восемь. Десять на восемь (восемьдесят), и три на восемь (двадцать четыре). Сто четыре. Да прибавим восемь на пять (сорок). Получается сто сорок четыре.

Теперь дополним ряд. Пятьдесят пять плюс тридцать четыре. Восемьдесят девять. Это одиннадцатое число. К нему опять прибавим пятьдесят пять. Сначала добавим двадцать. Получится сто девять. Потом добавим тридцать. Получится сто тридцать девять. На калькуляторе было бы быстрее, но не так интересно! Осталось добавить пять. Единица из пятерки уйдет на доведения до ста сорока, да четыре еще останется. Да! Сто сорок четыре. Мы были правы! Можно определять значения чисел из ряда «Фибоначчи» по номеру, используя сложение произведений чисел с соответствующими номерами, если эти номера соседние.

Но вспомним про нашу ошибку, когда мы складывали двадцать четыре (восемь умножали на три) и три (три умножали на один). Стоп! А если бы мы не складывали, а вычитали, то получили бы двадцать один. А это число входит в ряд «Фибоначчи». Что же получается? Числа можно получать не только сложением, но и вычитанием! И опять-таки — это всего лишь предположение!

Но, прежде чем начать проверку, давайте выпишем все, на текущий момент, известные нам числа «Фибоначчи». Начнем с нулевого.

Ноль, один, один, два, три, пять, восемь, тринадцать, двадцать один, тридцать четыре, пятьдесят пять, восемьдесят девять, сто сорок четыре.

Число номер семь (тринадцать) умножим на число номер пять (пять). Число номер пять умножим на число номер три (два). И вычтем второе произведение из первого. Шестьдесят пять минус десять. Получится пятьдесят пять. Число номер десять. Мы брали номера семь, пять, пять, три. Половина их суммы составит десять. Вот какое интересно свойство этих забавных чисел мы только что определили! Это было не легко, но интересно!

И надо полагать, что на этом чудесные свойства чисел «Фибоначчи», далеко не исчерпаны!

А если нам понадобится «перепрыгивать» не только через два или через три числа? Да причем используя множитель, которые не является числом из ряда «Фибоначчи».

Давайте попробуем, хотя мы уже сказали, что множителями могут быть только числа из ряда «Фибоначчи». Но посмотрим внимательно на число под номером десять (пятьдесят пять). Это же пять умноженное на одиннадцать! Правда ведь? А тридцать четыре? Это же три умноженное на одиннадцать с добавленной единичкой. А восемьдесят девять? Это же восемь умноженное на одиннадцать с добавленной единичкой. И даже сто сорок четыре — это тринадцать умноженное на одиннадцать с добавленной единичкой! А если двадцать один умножить на одиннадцать? Получится двести тридцать один. Является ли это числом из ряда «Фибоначчи» или близким к нему? Придется сложить сто сорок четыре и восемьдесят девять. Двести тридцать три. То есть достаточно число номер восемь (двадцать один) умножить на одиннадцать, прибавить к результату число номер три (два), и получим число номер тринадцать. То есть, число некоторого номера умножаем на одиннадцать, добавляем число меньшего на пять номера, и получаем число большего на пять номера!