Страница 8 из 11
Перекрученные прямые
Один из основных приёмов физики носит название "материальная точка". Он подразумевает, что при переходе от настоящего предмета к модели делается допущение: размерами и ориентацией предмета пренебрегают. Например, при рассмотрении движения Земли вокруг Солнца диаметром Земли пренебрегают, т. к. он много меньше расстояния от Солнца до Земли (в 23 тысячи раз). Любой реальный предмет имеет размер, следовательно, имеет и разницу в пространственных координатах своих частей. Эта разница в координатах частей предмета "автоматом" учитывает ориентацию. Например: если расстояние от нас до хвоста самолёта больше, чем расстояние до носа; и их разность равна длине самолёта – то самолёт летит прямо на нас. При поступательных движениях предмет изменяет координаты как единое целое и при переходе к абстракции "материальная точка" изменение координат всех частей предмета по-прежнему оставляют "единым целым". При изменениях ориентации координаты разных частей предмета меняются по-разному. Абстракция «материальная точка» не позволяет этого учитывать, поэтому вводят дополнительные переменные. Например, для самолёта вводят крен, рыскание и тангаж. И с учётом этих переменных уменьшают размеры самолёта до нуля – делают "точкой на радаре".
Получается, что хоть у нас и трёхмерное пространство, трёх переменных для полноценного описания явлений часто недостаточно. Когда надо, добавляют ещё ориентационные свойства предмета. Для самолёта это крен, рыскание и тангаж. В повседневной механике у детали есть 3 поступательных степени свободы и 3 вращательных. И там, и там шесть переменных – три координаты и три угла. Новая физика, то есть учёные – теоретики, работающие в направлении геометризации физики, предлагают ввести для каждой точки пространства понятие "ориентация". Предлагают учитывать ориентацию во всех случаях, вне зависимости от наличия предмета. То есть для каждой точки пространства ввести «крен, тангаж и рыскание». Предложим такую аналогию. Старая физика (теория Эйнштейна) оперировали бесконечным набором "сплющенных шариков", размеры которых стремятся к нулю. Новая теория предлагает оперировать бесконечным набором "самолётиков" с креном, тангажем и рысканьем каждого из них. При этом размеры самолётиков тоже стремятся к нулю. Нашей новой теории надо заново "соткать" из "самолётиков-точек прямые, из прямых плоскости, из плоскостей пространство и в завершение добавить время.
Продолжим пользоваться аналогией с авиацией и рассмотрим фигуру высшего пилотажа "бочка". Но рассмотрим мы её не как процесс во времени. Не как развёртку процесса во времени, а как мгновенный снимок. Представьте что это "точки-самолётики", из которых мы соткали прямую. Мысленно устремите размеры самолётиков к нулю и вы получите.... перекрученную прямую.
Есть и другая наглядная аналогия – перекрученная нитка. Можно даже не полениться и самостоятельно смоделировать: к нитке приклеить полоски-стрелочки, как зубья у расчёски. Пока нитку мы не крутим, все полоски-зубья смотрят в одну сторону. Начнём закручивать нитку. Полоски расположатся по спирали. А теперь мысленно устремляем толщину нитки к нулю и получим перекрученную прямую пространства.
Это мы попытались объяснить кручение точек пространства с помощью аналогии, можно даже сказать, что попытались представить. Теперь надо изложить этот же вопрос более научным языком, ибо аналогии и примеры не передают существенных особенностей. Элементарное вращение может происходить только в одной плоскости. Например, вращение вокруг оси z в привычном нам понимании есть поворот в плоскости x^y. Но, строго говоря, это только в трёхмерной геометрии поворот в плоскости однозначно выражается через поворот вокруг оси. Для пространства-времени можно спросить, «а почему не вокруг оси t?» Описание вращения через плоскость, в которых находится изменяющийся угол, однозначно конкретизирует данное движение. Сложные виды вращений (поворот вокруг нескольких осей) раскладываются на сумму элементарных движений в разных плоскостях. В привычной нам геометрии пространства мы используем 3 координаты х, у, z. Трёх пространственных координат и времени t достаточно, чтобы иметь возможность однозначно обозначить любое событие в любой точке пространства в любой момент времени. Последняя фраза на научном языке звучит как "пространство событий". Для построения новой геометрии окружающего нас пространства с учётом ориентаций мы должны использовать уже 10 независимых размерностей: четыре линейные (трансляционные) координаты x, y, z, t и шесть угловых: углы в плоскостях между осями x^y, x^z, y^z и в плоскостях x^t, y^t, z^t. Можно сказать по-другому: из трёх привычных нам пространственных измерений мы получили десятимерное «пространство событий», т. е. набор из десяти параметров для каждого отдельного события "в данном месте в данное время".
Ранее мы "на пальцах", при помощи "самолётиков-точек" и их крена, рыскания и тангажа попытались объяснить, как возникает 10-мерное пространство событий. Теперь в нашем построении вместо самолётиков-точек будем использовать "ориентированную точку" или «единичный координатный базис».
На первый взгляд, вроде бы всем знакомые оси координат. Но если говорить более точно – это всего-навсего одна ориентированная точка "0". Просто она никуда не повёрнута. Вектора её единичного базиса направлены вдоль осей координат. Возможна и другая ситуация:
Та же самая точка "0", только повёрнутая относительно осей координат. Обратите внимание: оси координат показаны пунктиром, а стрелками – ориентация точки. Если кому-то из читателей будет понятнее: стрелки – это оси "самолётика". Как именно повёрнута это "ориентированная точка" = "самолётик" – по двумерному рисунку не сообразить.
В математике из множества точек получается прямая, из прямых – плоскость, из плоскостей – пространство. Поступим и мы также – соберём из этих "ориентированных точек"="единичных базисов" прямую (оси координат пунктиром уже не рисуем).
Из простых, никуда не повёрнутых точек получаем обычную банальную прямую.
А вот следующие случаи поинтереснее.
Поворот в плоскости y^z
Поворот в плоскости x^z
Для лучшего представления кручёных прямых можно повторить наглядную аналогию. Перекрученная нитка с приклеенными полосками-стрелочками. С одной стороны, нитка прямая, т.е. без изгибов, с другой – она может быть вся закручена. Допустим, у некрученой нитки все стрелочки направлены вниз. При закручивании они уже будут менять своё направление. Если устремить толщину нитки к нулю, то и получим кручёную прямую с первого рисунка (y^z). Кручение в плоскости x^z со второго, равно как и аналогичное в плоскости x^y, аналогией наглядно не передать.
Надеемся, читатель и без рисунка сможет понять (а некоторые – даже представить), что возможно сочетание кручений в двух и в трёх плоскостях. Тоже несложно понять, что кручение вдоль прямой может быть разным:
Неравномерное кручение в плоскости x^z.