Страница 9 из 11
2-119. Квадрат ограничивают 16 спичек (рис. выше справа). Требуется разделить его на 4 фигуры площадью по 4 у. кв. ед. каждая с помощью 8, 10, 12 спичек (три задания). Разумеется, нельзя класть две спички на одну и ту же сторону. Труднее выполнить условие, используя 11 спичек (четвертое задание).
2-120. Выложенные в форме квадрата 16 спичек представляют изгородь двора. Часть площади двора занята домом, изображенным в виде квадрата из 4 спичек. Остальную часть двора требуется разделить при помощи 10 спичек на 5 участков, одинаковых по форме и по площади.
2-121. Данную фигуру разделите на 4 одинаковые части с помощью 8 спичек.
2-122. Сад, очертание которого изображено 20 спичками, и в середине которого находится дом квадратной формы, требуется:
а) разделить 18-ю спичками на 6 равновеликих и одинаковых по форме частей;
б) разделить 20-ю спичками на 8 одинаковых частей.
Раздел Д. Различные дополнения к геометрии, не вошедшие в предыдущие разделы по разным причинам.
Две задачи отличаются тем, что для их формулировки и решения, кроме спичек, нужен соответствующий рисунок на бумаге.
2-123. Сторона каждого маленького квадрата на рисунке, имеет длину в одну спичку. Требуется разместить ровно 26 спичек вдоль линий таким образом, чтобы они разделили весь чертёж на две части одинаковых размеров и формы, причем в одной из них должны находиться два нарисованных треугольника, а в другой – два круга.
2-124. На бумаге начерчен квадрат со стороной равной длине 4 спичек и прямыми линиями разделён на 16 меньших квадратов.
Задача состоит в том, чтобы расположить спички на листе выполняя три условия:
1) каждая спичка должна закрывать сторону одного из маленьких квадратов;
2) у каждого из маленьких квадратов ровно 2 стороны должны быть закрыты спичками;
3) спички нельзя размещать, на краю большого квадрата, то есть по внешним сторонам.
Решите ту же задачу для исходного квадрата с длиной стороны в 5 спичек.
Отдохнем от решения заданий. На уроках школьной геометрии, прежде чем решать задачи, учитель объясняет соответствующие теоремы и доказывает их. Оказывается и теоремы можно доказывать «на спичках». Очень важной для всего курса геометрии является теорема о сумме внутренних углов треугольника. Вот как можно доказать ее с помощью простой спички. Начертив на доске треугольник, положим на одну из его сторон (например, в вершине А) спичку, направленную головкой от точки А в сторону точки В.
Далее, следуя рисунку, будем двигать спичку вдоль стороны, до тех пор, пока ее головка не совпадет с вершиной В. Теперь, поворачиваем спичку так, чтобы она описала угол В и расположилась вдоль другой стороны треугольника. Сдвинем теперь спичку вдоль второй стороны до следующей вершины С и поворачиваем спичку так, чтобы она описала угол С. Далее сдвинем спичку вдоль третьей стороны до исходной вершины А, поворачиваем спичку так, чтобы она описала угол А и вернулась в исходное положение, повернувшись при этом на все три угла треугольника, причем строго по часовой стрелке. В итоге она окажется совмещенной с первоначальной стороной треугольника, но ее головка «смотрит» в противоположное направление. Угол, описанный спичкой, равен сумме внутренних углов треугольника, а с другой стороны её суммарный поворот равен развернутому углу, то есть 1800. Этот метод доказательства называется «метод скользящей спички». Им можно воспользоваться для определения суммы внутренних углов четырехугольника, он служит удобным способом измерения углов любых многоугольников с любыми сложными самопересечениями.
Серьезные рассуждения подготовили нас к серьезным задачам. Спичечный коробок по форме представляет собой прямоугольный параллелепипед.
2-125. Как измерить диагональ спичечной коробки с помощью простой линейки? Нужно обойтись без вычислений, без формулы для квадрата диагонали, который равен сумме квадратов трех измерений параллелепипеда. Стороны параллелепипеда измеряются элементарно, а вот диагональ?
2-126. Воткните в яблоко с двух диаметрально противоположных сторон две спички.
Если такое яблоко разрезать под некоторым углом α и поворачивать одну половинку относительно другой, то угол между спичками будет изменяться и за пол-оборота достигнет наименьшего значения (какого?).
Разрежьте это яблоко с таким расчетом, чтобы значение наименьшего угла не могло превысить 900. Совместите обе половинки так, чтобы между спичками образовался угол 1200. Считайте, что яблоко имеет точную форму шара.
2-127. Сколько всего спичек может быть получено из деревянного куба, ребро которого 1 метр? Каждая спичка должна иметь длину 5 см и поперечное сечение 2×2 мм. Вопрос нужно решить чисто теоретически, считая распил идеальным, то есть на него объем не расходуется.
Теперь еще раз пройдемся по фигурам, увеличивая постепенно количество используемых спичек.
2-128. Из 4 спичек сложен крест, но не так как в задаче 2-6. Получить маленький квадратик в центре не получится. Хотя требование аналогичное: переместить одну спичку так, чтобы получился квадрат.
2-129. Из 5 спичек сложена маленькая стрела. Переложите 3 спички так, чтобы стрела поменяла направление на противоположное.
2-130. Из 6 спичек сложен правильный шестиугольник, у которого все углы тупые по 1200. Требуется переложить 4 спички так, чтобы получились треугольники с острыми углами.
2-131. Как переложить 2 спички так, чтобы из трех треугольников получилось два треугольника.
2-132. Из 8 спичек сложите 3 квадрата.
2-133. Переложите 2 спички так, чтобы получилось три квадрата одного размера.
2-134. Переложите 3 спички, чтобы вместо трех треугольников получить три четырехугольника одного размера.