Страница 22 из 32
- Отвечаю, - невозмутимо сказал Сева. - Потому что Магистр есть Магистр! А вообще вопросы попрошу задавать в конце заседания. Итак, задумайте каждый какое-нибудь число, запишите его на бумажке и проделайте с ним все то, что предлагал Мюнхгаузен. Ну, а я уж как-нибудь да угадаю, какую цифру каждый из вас зачеркнул. Даю 38 секунд. Начали!
Ненадолго наступила тишина. Потом активисты засопели, зашептались...
- Время! - железным голосом провозгласил Сева и попросил каждого назвать свой результат.
И тут начался такой галдеж, что хоть уши затыкай. Активисты выкрикивали числа, а Сева называл зачеркнутую цифру. Из 28 цифр он угадал... одну! И то чисто случайно. За каждым неправильным ответом следовал мощный взрыв эмоций. Президент даже колокольчик сломал. Когда все кое-как утихомирились, Таня сказала:
- Мне кажется, я подметила в задании Мюнхгаузена некоторую закономерность. Если к тем числам, которые сейчас называли наши гости, приписывать зачеркнутую ими цифру, получается число, кратное девяти.
Все шумно стали проверять Танино предположение. Она оказалась права. Ей устроили овацию. Однако взлохмаченный активист потребовал доказательства: а ну как все это просто случайность?
Но Таня доказательства не знала. Выручил ее, как всегда, Олег. Он предложил все действия над задуманными числами записать в общем виде, а вычисления начать с самого начала.
- Для быстроты вычисления, - продолжал он, - пусть задуманное число будет четырехзначным. Тогда в общем виде оно запишется так:
1000x+100y+10z+t.
- В таком случае сумма его цифр, - снова перебил взлохмаченный активист, равна x+y+z+t.
- Правильно, - подтвердил Олег. - А теперь надо вычесть из задуманного числа сумму его цифр:
1000x+100y+10z+t-(x+y+z+t), что равно
999x+99y+9z.
- Смотрите, - вмешалась Таня, - последняя цифра (t) исчезла. Значит, она может быть любой!
- Правильно подметила! Остается взять девятку за скобки, и сразу станет ясным, что разность кратна девяти:
9(111x+11y+z).
- До сих пор все верно, - кивнул Нулик, - но ведь дальше эту разность надо еще умножить на любое число!
- Ну и что ж? - удивился Олег. - Если число делится на 9, то на сколько его ни умножай, произведение останется кратным девяти.
- Допустим, - упорствовал президент. - Но ведь после того как одна цифра была вычеркнута, остальные переставлялись в ЛЮБОМ порядке.
- И это не имеет значения, - успокоил его Олег. - Ведь для того чтобы число делилось на 9, надо, чтобы сумма его цифр тоже делилась на 9. Ну, а от перемены мест слагаемых сумма, как тебе известно, не меняется.
Нулик только руками развел.
- Итак, - подытожил Сева (можно подумать, что он сам все доказал), - чтобы угадать зачеркнутую цифру, надо прочитанное вами число разделить на 9, а остаток дополнить до девятки. Это и будет искомая цифра.
Самая юная активистка - крохотная девочка в больших очках - попросила проверить правило на задуманном ею числе. Отгадывать зачеркнутое число вызвался Нулик. Девочка назвала число, получившееся у нее после заданных вычислений: 5871.
- Зачеркнутая цифра - 6, - сказал президент, подумав.
- Правильно, - подтвердила кроха. - Но разъясните ход ваших рассуждений.
- С удовольствием! - Нулик даже ножкой шаркнул. - Сложим цифры 5+8+7+1, получим 21. Разделим на 9, получим 2 и в остатке 3. Ну, а для того чтобы тройка стала девяткой, к ней надо прибавить шесть.
Все шумно захлопали. Президент раскланялся и предложил провести еще один эксперимент. Успех явно вскружил ему голову.
- Пожалуйста, - как всегда, невозмутимо согласился Олег. - Результат моих вычислений: 603.
Нулик взмахнул рукой, как фокусник.
Итак, приступаю к отгадыванию. 6+0+3=9. Делю 9 на 9 - получается единица... А где же остаток? - Нулик озабоченно потер переносицу. - Остатка нет! Постой-постой, какую цифру ты вычеркнул? Или ты ничего не вычеркивал?
- Нет, вычеркнул. Девятку! А мог бы вычеркнуть и нуль. А число при этом все равно делилось бы на 9 без остатка. Так что угадать зачеркнутую цифру в данном случае точно невозможно.
Президент чуть не заплакал:
- В чем же дело?
- Просто Магистр (а может быть, и сам барон Мюнхгаузен) забыл предупредить, что вычеркивать можно любую цифру, кроме нуля или девятки - по выбору.
- В общем, с первым вопросом все, - заключил Сева. - Переходим к следующему...
- Не торопись, - перебил я. - Есть еще один, притом более простой способ отгадать зачеркнутую цифру. Но для этого надо уметь вычислять однозначную сумму цифр.
Все снова загалдели и потребовали разъяснения: что еще за однозначная сумма цифр?
- Всем известно, - сказал я, - что однозначным числом называется число, состоящее из одной цифры, двузначное число состоит из двух цифр и так далее. Так вот, цифры числа надо складывать до тех пор, пока сумма не окажется однозначным числом. Для примера возьмем число 187254683. Сумма его цифр: 1+8+7+2+5+4+6+8+3=44. Теперь найдем сумму цифр числа 44. Это 8. Вот вам и однозначная сумма цифр заданного числа. Так вот, если в прочитанном вам числе вычислить однозначную сумму его цифр и дополнить ее до девятки, то это дополнение и будет искомой, то есть зачеркнутой цифрой.
Нулик, по своему обыкновению, стал проверять мое правило на примере и выбрал число, названное девочкой в очках: 5871. Однозначную сумму цифр он нашел правильно: 5+8+7+1=21, далее 2+1=3, дополнение до девяти равно 6. Ура!
Ребята снова загалдели. Сева приложил палец к губам:
- Эй, вы, потише! А не то сюда весь дом сбежится...
Когда все немного успокоились, Олег предложил для вычисления однозначной суммы цифр еще более короткий способ, чем мой. Он просто-напросто вычеркивал в числе цифры, которые в сумме давали 9. Для этого он воспользовался моим же примером: 187254683. Сначала он вычеркнул 1 и 8, затем 7 и 2, далее 5 и 4, наконец, 6 и 3. Осталась одна цифра - 8!
И снова шум, гам, крики "ура!"...
- Но самое замечательное, - сказал я, когда активисты наконец усовестились, - что с помощью однозначной суммы цифр можно проверять правильность, а лучше сказать - неправильность некоторых вычислений. Вот, например, сложим числа 138 и 244. Сумма их равна 382. Допустим, мы ошиблись и получили в сумме 381. Произведем проверку. Однозначная сумма цифр числа 138 равна 3, а числа 244 - 1. Сумма этих сумм: 1+3=4. Но так как однозначная сумма цифр числа 381 равна 3, значит, сразу видно, что допущена ошибка. А вот однозначная сумма цифр числа 382 как раз и есть 4. Точно так же можно проверить правильность ответа при умножении и при возведении в степень.