Элементы

1. Закономерности распределения расширенного натурального ряда чисел

В Российской традиции используется натуральный ряд чисел nR = 1, 2, 3, …, ∞. В Западных и во многих других странах используют расширенный натуральный ряд, начинающийся с 0: nW = 0, 1, 2, 3, …, ∞.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

• натуральные числа – числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, четвёртый, пятый…), (nR)

• натуральные числа – числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов…), (nW) (Натуральное число – Википедия)

Иными словами ряд, начинающийся с 1, используется как порядковый ряд, а ряд, начинающийся с 0, как количественный ряд. Почему же порядок некоторых телефонных номеров в России начинается с 0 (02, 03)? Здесь больше оправдания, чем определения. Но самое важное и главное здесь то, что nW, пусть и урезано, но признаётся и частично используется и в России (авт.).

Эти ряды связаны соотношением:

nW = 0, nR (8)

Квадрат любого n из nR = 1, 2, 3, …, ∞ равен сумме нечётных чисел:

n2 = Σ(2n –1) (9)

С учётом (9) квадрат чётных чисел (2n)2 при n = 1, 2, 3, 4, 5 из nR = 1, 2, 3, …, ∞:

(2n)2 = 2(2n2) = 2[2Σ(2n –1)] = 2[2(1), 2(1 + 3), 2(1 + 3 + 5), 2(1 + 3 + 5 + 7), 2(1 + 3 + 5 + 7 + 9)] = 2[2(1), 2(4), 2(9), 2(16), 2(25)] = 2(2, 8, 18, 32, 50) (10)

Получились числовые сдвоенности – Диады из пар числовых Монад 2, 8, 18, 32, 50.

Для квадратов чётных чисел (2n)2 по формуле (8), с учётом (10) и правила «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется» имеем:

(2n)2 = 02, 2[2(1), 2(3 + 1), 2(5 + 3 + 1), 2(7 + 5 + 3 + 1), 2(9 + 7 + 5 + 3 + 1)] (11)

Любое число (0 – число в nW), умноженное на 0, равно нулю. Это правило в применении к 02 даёт: 02 = 0 × 0 = 0 = 2 × (2 × 0) = 2(0) = 2[(0)]. Тогда 2(0) можно ввести в скобки [] формулы (11) нулевым членом:

(2n)2 = 2[(0), 2(1), 2(3 + 1), 2(5 + 3 + 1), 2(7 + 5 + 3 + 1), 2(9 + 7 + 5 + 3 + 1)] (12)

Произведя суммирование в (12) получим:

(2n)2 = 2[0, 2, 8, 18, 32, 50] (13)

Получились числовые сдвоенности – Диады из Монад: 0, 2, 8, 18, 32, 50.

Просуммируем все Диады (13) с учётом (9), (12) и правила: «от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется».

Σ2(2n2) = 2Σ2Σ(2n –1) = 2{0 + 2[(1) + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + (1 + 3 + 5 + 7) + (1 + 3 + 5 + 7 + 9)]} = 2 × 0 + 2(2) + 2(2 + 6) + 2(2 + 6 + 10) + 2(2 + 6 + 10 + 14) + 2(2 + 6 + 10 + 14 + 18) = 2 × (0) + 2(2) + 2(6 + 2) + 2(10 + 6 + 2) + 2(14 + 10 + 6 + 2) + 2(18 + 14 + 10 + 6 + 2)

Полученный результат представляет полное количество KD чисел в шести Диадах из пар (2 перед скобками) Монад, которые состоят последовательно из 0, 1, 2, 3, 4, 5 слагаемых (в скобках). В сумме они составляют:

KD = 2 × (0) + 2(2) + 2(6 + 2) + 2(10 + 6 + 2) + 2(14 + 10 + 6 + 2) + 2(18 + 14 + 10 + 6 + 2) = 220 (14)

С учётом (10) формулу (11) можно записать как последовательность количества KN номеров N в Монадах последовательности n = 0; 1; 2; 3; 4; 5 Диад:

KN = 2(2n2) = 2Σ2(2n – 1) = 2[0,2(1), 2(3 + 1), (5 + 3 + 1), 2(7 + 5 + 3 + 1), 2(9 + 7 + 5 + 3 + 1)] (15)

Произведя суммирование и раскрытие скобок в правой части формулы (15), получим распределение количества KN номеров N в n = 0; 1; 2; 3; 4; 5 Диадах:

Это именно количества номеров, которые не обязательно должны следовать по определённому нарастающему порядку. Номера же должны последовательно нарастать. Номера N должны выстраиваться в монадах 0–5 Диад по такой же простой формуле:

N = 2Σ2(2n –1), (16)

но в строго нарастающем порядке.

Упорядоченное номерное распределение в Монадах n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Диад графически воплощается в 33-рядный набор квадратиков-ячеек количеств KN для номеров N по формулам (15) и (16) с последним рядом для n = ••, обозначающим последовательное продолжение n до n = ∞ (Рис. 25).

Рис. 25. 33-х рядная таблица 0-220 квадратиков-ячеек для KD в рядах Монад 6-ти Диад-Уровней и ряда для монад Диад-Уровней •••

Нулевые ряды состоят из одной ячейки каждый. Ряды 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30 состоят из двух ячеек, ряды 3, 5, 8, 11, 15, 19, 24, 29 – из шести ячеек, ряды 7, 10, 14, 18, 23,28 – из десяти ячеек, ряды 13,17, 22, 27 – из четырнадцати ячеек. Ряды 21, 26 – из восемнадцати ячеек. В целом форма таблицы с ячейками напоминает ветвистую Ёлку. Ячейки с нулями выглядят верхушечной ветвью Ёлки. Двухъячеечные ряды выглядят стволом Ёлки. Остальные ряды ячеек напоминают боковые ветви Ёлки. Очевидно, ствол отличается от ветвей. Верхушечная ветвь отличается от боковых Ветвей. И боковые ветви Уровней n = 2; 3; 4; 5 отличаются друг от друга. Таким образом, Ёлка составлена из верхушечной ветви, ствола и четырёх разновидностей боковых ветвей. Эти различия отразим тонами серой шкалы (gray scale) на рис. 26.

Рис. 26. Ёлка ячеек в различных тонах серой шкалы

Верхушечная ветвь, боковые ветви и ствол Ёлки представлены последовательно усиливающимися тонами серой шкалы.

Пронумеруем в нарастающей последовательности квадратики-ячейки слева направо с переходом к нижележащим рядам Подуровней сверху вниз Уровней-Диад n = 0,1, 2, 3,4, 5, •• и представим Ёлку отдельно, без рамок с номерами и обозначениями Уровней и Подуровней.

Рис. 27. Ёлка с последовательно нарастающими номерами в квадратиках-ячейках различных типов ветвей и ствола

Отличия ячеек верхушечной ветви от ячеек других типов боковых ветвей и ствола Ёлки выражены последовательно усиливающимися тонами серой шкалы.

2. Другие формы Ёлки

На рис. 27 Диады выражены не чётко. Перейдём к более выраженной форме. Это можно сделать переворачиванием первых (верхних) Монад, начиная с третьей сверху Диады (Диады с номером 2). На рис. 28 представлены результаты переворачиваний в Диадах. Переход к основной форме осуществляется обратным переворачиванием. Переход от Ёлки к Ёлке 1 обратимый.

Рис. 28. Обратимый переход от основной формы Ёлки к форме Ёлка 1