Страница 19 из 31
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины ξ могут быть найдены следующим образом:
где Pξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины ξ. Стандартное отклонение случайной величины определяется обычно как:
Если f(t) – некоторая непрерывная функция, а ξ – непрерывная случайная величина, то
Пример 1.50. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [a, b], если
Функцию распределения случайной величины ξ можно найти следующим образом:
Таким образом,
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ можно найти следующим образом:
Пример 1.51. Случайная величина ξ распределена показательно, если
Асимметрией (skewness) распределения вероятностей случайной величины ξ называется число
Если a(ξ) = 0, то плотность распределения вероятностей случайной величины ξ симметрична относительно математического ожидания этой случайной величины (рис. 1.20).
При положительной (правосторонней) асимметрии распределения правая ветвь (tail) плотности распределения вероятностей случайной величины «длиннее» левой ветви. Соответственно, при отрицательной (левосторонней) асимметрии правая ветвь плотности распределения вероятностей случайной величины будет «короче» левой ветви (рис. 1.21 и 1.22).
Эксцессом (kurtosis) распределения вероятностей случайной величины ξ называется число
При одном и том же стандартном отклонении чем больше эксцесс, тем «тяжелее» ветви плотности распределения вероятностей случайной величины (рис. 1.23).
Распределение вероятностей с большим эксцессом называют распределением с «тяжелыми» ветвями (leptokurtic/fat-tailed distribution).
Медианой (median) распределения случайной величины ξ называется число Ме, удовлетворяющее условию:
Модой (mode) распределения случайной величины ξ называется любая точка локального максимума плотности распределения Pξ(x) этой случайной величины.
Распределение с одной модой Мо называется унимодальным (unimodal).
Если даны две случайные величины ξ1 и ξ2, то можно рассмотреть двумерную случайную величину
Функция Pξ(x1, x2), удовлетворяющая равенству (1.54), называется плотностью совместного распределения случайных величин ξ1 и ξ2.
Все основные свойства числовых характеристик, рассмотренные нами для дискретных случайных величин, сохраняются и в непрерывном случае.
1.22. Важнейшие виды распределений случайных величин
1.22.1. Биномиальное распределение
Дискретная случайная величина ξ имеет биномиальное распределение (binomial distribution) B(n, р), если она принимает значения: 0, 1, 2, …, n, причем
Пример 1.52. Рассмотрим портфель из 20 облигаций, выпущенных различными эмитентами с одним и тем же кредитным рейтингом. Предположим, что дефолты по облигациям независимы, а вероятность дефолта по любой облигации в течение одного года равна 10 %.
Обозначим через ξ число дефолтов по данному портфелю в течение одного года. Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение B(20, 0,1), следовательно, ожидаемое число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года составит:
Вероятность того, что в течение года произойдет два дефолта, находится следующим образом:
Вероятность, что в течение года произойдет 5 дефолтов, составит величину:
1.22.2. Распределение Пуассона
Случайная величина ξ, принимающая значения 0, 1, 2, …, k, …, имеет распределение Пуассона (Poisson's distribution) с параметром λ > 0, если
Пример 1.53. Число дефолтов по портфелю облигаций в течение одного года имеет распределение Пуассона. Ожидаемое число дефолтов равно 8.
Вероятность того, что в течение года произойдет ровно два дефолта, можно найти по следующей формуле: