Страница 18 из 31
1.20. Дискретные случайные величины
Случайная величина ξ называется дискретной случайной величиной (discrete random variable), если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.
Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:
т. е. для каждого возможного значения случайной величины ξ задать вероятность этого значения.
Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины ξ показана на рис. 1.17.
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины ξ определяются следующим образом:
Пример 1.48. Дана 10 %-ная облигация с полугодовыми купонами, продающаяся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 года. Инвестор считает, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может принять следующие значения:
Законы распределения вероятностей цены облигации (η) и годовой реализуемой доходности за 6 месяцев (τ) указаны в таблице:
Например, если ξ = 11,0 %, то
Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее дисперсия могут быть найдены следующим образом:
Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облигации за 6 месяцев равно 11,96 %, а ее стандартное отклонение составляет 14,81 %.
Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин ξ и η может быть задан следующим образом:
Pij – это вероятность того, что случайная величина ξ принимает значение Xi, а случайная величина η – значение Yj, i = 1, 2, 3…, j = 1, 2, 3…, причем
Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих случайных величин, так как
Дискретные случайные величины ξ и η называются независимыми, если
Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:
Ковариация (covariance) между двумя дискретными случайными величинами ξ и η определяется равенством
Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами ξ и η определяется следующим образом:
Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.
Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин ξ и η приведено в таблице:
Распределение вероятностей случайных величин ξ,η и ξη имеет следующий вид:
Ковариация и корреляция между случайными величинами ξ и η находятся следующим образом:
1.21. Непрерывные случайные величины
Случайная величина ξ называется [абсолютно] непрерывной (continuous random variable), если существует неотрицательная функция pξ(x), такая, что
где Fξ (x) – функция распределения вероятностей случайной величины ξ.
Функция pξ(x), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function – PDF) случайной величины ξ.
Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х.
1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х1 и x2 (x1 < x2), совпадает с заштрихованной площадью на рис. 1.19.
2. Если pξ(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины, то
3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина ξ принимает то или иное значение, всегда равна нулю, т. е. P{ξ = x} = 0.
4. Производная функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины равна плотности распределения вероятностей этой случайной величины, т. е.