Страница 4 из 6
В следующих разделах будет сначала рассмотрена концепция «двустороннего» риска в портфельной теории, рассмотрены ее плюсы и минусы, а затем более современные концепции оценки рыночных и других видов риска, в частности, концепция Value-at-Risk.
Глава 2. «Двусторонний» рыночный риск в классической портфельной теории
В этом разделе будет рассмотрен один из видов рыночного риска – ценовой риск, т.е. риск неблагоприятного изменения цен финансовых инструментов. Классическая портфельная теория излагается как пример одного из первых (в историческом плане) подходов к измерению ценового риска.
«Двусторонний» рыночный риск в классической портфельной теории
Рассмотрим основную задачу классической портфельной теории.
Пусть задан отрезок времени Delta t = [0,1], называемый инвестиционным периодом: в момент t =0 инвестор приобретает активы, в момент t=1 продает их и оценивает свое благосостояние. Он принимает решение в условиях неопределенности, т.к. будущая доходность ценной бумаги есть величина неопределенная, следовательно, в инвестиционном решении присутствует риск.
Как известно, ценные бумаги характеризуются доходностью и риском. Исходя из здравого смысла инвестиционную задачу можно сформулировать: «как путем управления инвестициями достичь максимума доходности при минимуме риска», что в математической постановке распадается на два случая:
(а) задача максимизации доходности при ограничении риска сверху заданным значением
и (б) задача минимизации риска при ограничении доходности снизу заданным значением
В портфельной теории рассматривается первая задача.
Отметим, что при прочих равных условиях диверсификация3 портфеля дает возможность уменьшения риска при заданном уровне доходности.
Рассмотрим более подробно портфельную теорию Г. Марковица4.
По определению, доходность некоторой ценной бумаги есть ri = (p1-p0)/p0, где p0, p1 – цены в моменты времени t0, t1.
Доходность портфеля определяется аналогично: rp=(w1-w0)/w0, где w0 и w1 – начальное и конечное благосостояние потребителя. Отсюда имеем: w0(1+rp)=w1, то есть доходность rp можно трактовать как некоторую эффективную ставку, по которой растет благосостояние.
В теории Марковица делаются следующие предположения:
1) Доходность ценной бумаги – это случайная величина, а значит, доходность портфеля – тоже случайная величина;
2) Инвестор при принятии инвестиционного решения (в какие активы вложить имеющиеся денежные средства на время инвестиционного периода) ориентируется только на ожидаемую доходность (математическое ожидание доходности) и риск, понимаемый как стандартное отклонение доходности портфеля ценных бумаг.
Последнее предположение является очень жестким, так как все статистические свойства случайной величины – доходности – сводятся только к математическому ожиданию и дисперсии (которая является мерой «разброса» данных относительно «среднего»), и инвестиционное решение принимается только на их основе. Таким образом, не учитываются особенности распределения случайной величины.
С точки зрения оценки риска у теории Марковица есть свои достоинства и недостатки.
Достоинства:
1. Если распределения доходности ценных бумаг симметричны и «близки» по форме, то среднеквадратичное отклонение s рассматривается как мера риска, так как отклонения в обе стороны, благоприятную и неблагоприятную, равны.
2. Теория вычислительно проста.
Недостатки теории:
1. Для нормального распределения s – хорошая мера разброса, а для прочих – плохая, риск оценивается неадекватно, с грубым приближением.
2. Эта мера разброса показывает отклонения в обе стороны, а нас интересует риск, то есть мера отклонения только в неблагоприятную сторону.
Рис. 1.
Нарисуем график, где на горизонтальной оси отложим стандартное отклонение s, на вертикальной – доходность r. При условии сделанного предположения для инвестора достаточно знания этих двух величин. Это значит, что портфель можно изобразить точкой, а инвестиционное решение должно приниматься на основании анализа допустимого множества портфелей и предпочтений инвестора.
В теории Марковица обычно считается, что инвестор, во-первых, обладает свойством ненасыщения, то есть таким свойством, что чем больше доходность инвестиционного портфеля, тем ему лучше при прочих равных условиях. Во-вторых, инвестор обладает свойством избегания риска, свойством несклонности к риску.
Бывает три вида инвесторов: склонных к риску, избегающих риска и нейтральных к риску. Рассмотрим честную игру. Бросая монетку, с вероятностью ½ мы либо получаем, либо платим одну денежную единицу. Математическое ожидание выигрыша равно нулю (½*(+1)+½*(-1)=0). Для инвестора, несклонного к риску, моральное удовлетворение от выигрыша в одну единицу будет меньше, чем разочарование от проигрыша. Хотя он знает, что в среднем получается ноль, он откажется от игры. Склонный к риску инвестор рассуждает ровно наоборот. Нейтральный к риску скажет, что ему все равно, играть, или не играть.
Для инвесторов, несклонных к риску и обладающим свойством ненасыщения, рассматриваемых в теории Марковица, кривые безразличия выглядят следующим образом: положительно наклоненные и выпуклые вниз.
Кривая безразличия – это множество портфелей, обладающих свойствами доходности и риска, полностью описываемыми величинами r и s, одинаковых для инвестора с точки зрения его предпочтения – инвестиционного выбора. Кривая безразличия положительно наклонена, так как считается, что больший риск должен компенсироваться большей доходностью. Аналогичный подход используется в теории полезности.
Кривые безразличия не пересекаются. Между любыми двумя можно нарисовать третью. Для инвестора лучше, когда наш портфель оказывается левее и выше на приведенном рисунке, потому что при таком смещении либо увеличивается доходность, либо уменьшается риск, либо то и другое одновременно; поэтому кривая безразличия, расположенная левее и выше, предпочтительнее для инвестора.
Пусть:
N – количество активов,
x1 , …, xN –доли активов в портфеле,
Тогда доходность портфеля, rp, исходя из определения доходности, есть
Отсюда, очевидно, что ожидаемая доходность портфеля определяется формулой
Соответственно, для s получается, что риск портфеля есть
– коэффициент корреляции между доходностями i-ой и j-ой ценными бумагами.
3
Диверсификация портфеля – составление портфеля из большого количества активов (ценных бумаг), то есть разнообразие при вложении денежных средств.
4
Гарри Марковиц – лауреат Нобелевской премии по экономике 1990 года (совместно с М. Миллером и У. Шарпом).