Страница 114 из 125
Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим ????обычн — энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):
????
обычн
=
ℎν
.
г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116). ▲
73. Гравитационное красное смещение
а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от ???? к ????+????????, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли ????≈????Земля, и мы получим
????????
????
=
????*
????Земля²
????????
=
????*
????????
.
Подставляя ????≈10 м/сек² приближённо найдём
????*
=
????
????²
≈
10 м/сек²
9⋅10¹⁶ м²/сек²
≈
10⁻¹⁶
м
/
м
²
,
так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно
????????
????
≈
1,7⋅10⁻¹⁴
≈
2⋅10⁻¹⁴
.
б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве ????* массу Земли, равную 4,4⋅10⁻³ м, а за исходный радиус принять радиус Земли ????Земля мы получим
????
????
=
????*
????Земля
≈
4,4⋅10⁻³ м
6,7⋅10⁶ м
≈
7⋅10⁻¹⁰
.
Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.
в) Заменяя в формуле, полученной в части a), ???????? на ????, а ????????/???? — на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) 1.
1 В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.
г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (????*=4,44⋅10⁻³ м, ????Земля6,7⋅10⁶ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
⎛
⎜
⎝
Δν
ν
⎞
⎟
⎠
Земля
≈
-7⋅10⁻¹⁰
,
т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (????*=1,47⋅10³ м, ????Солнце7⋅10⁸ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
⎛
⎜
⎝
Δν
ν
⎞
⎟
⎠
Солнце
≈
-2⋅10⁻⁶
.
▲
74. Плотность спутника Сириуса
Из формулы (119) следует величина радиуса
????
=
????*
-Δν/ν
=
1,5⋅10³ м
7⋅10⁻⁴
≈
2⋅10⁶
м
(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна
????
=
2⋅10³⁰
кг
≈
6⋅10¹⁰
кг
/
м
³
=
6⋅10⁷
г
/
см
³
4π
????²
4⋅8⋅10¹⁸
м
³
3
— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды! ▲
75. Формулы Допплера
а) В системе отсчёта ракеты
????'
????
=
????' cos φ',
????'
????
=
????' sin φ'.
Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём
????'
=
-????
cos φ
sh
θ
????
+
????
ch
θ
????
,
????'cos φ'
=
????
cos φ
sh
θ
????
-
????
ch
θ
????
,
????'sin φ'
=
????
sin φ
.
Но для фотона ????=????, и первое из уравнений записывается в виде
????'
=
????
ch
θ
????
(1-β
????
cos φ)
,
как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos φ' и исключим из него ???? пользуясь (120):
cos φ'
=
???? cos φ ch θ????-???? sh θ????
???? ch θ????(1-β???? cos φ)
,
cos φ'
=
cos φ-β????
1-β???? cos φ
.
б) Будем исходить из формул, обратных (78):
????
=
????'
????
sh θ
????
+
????' ch θ
????
,
????
????
=
????'
????
ch θ
????
+
????' sh θ
????
,
????
????
=
????'
????
,
????
????
=
????'
????
.
Вновь производя уже знакомые подстановки
????'
????
=
????' cos φ'
=
????' cos φ'
,
????'
????
=
????' sin φ'
=
????' sin φ'
и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии
????
=
????' ch
θ
????
(1+β
????
cos φ')
.
Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё
cos φ
=
cos φ'+β????
1+β????cos φ'
.