Страница 113 из 125
????
=
3
4
4⋅10⁻⁶ н/м²
(10³ кг/м³)(6⋅10⁻³ м/сек²)
=
5⋅10⁻⁷
м
.
Итак, частица должна быть довольно маленькой — радиусом примерно 1000 атомов. Интересно, что расстояние от Солнца при вычислениях сокращается. Отметим, что мы сделали здесь следующие предположения:
1) частица шарообразна,
2) частица полностью поглощает падающий на неё свет,
3) плотность частицы равна плотности воды. ▲
70. Эффект Комптона
В подписи к рис. 109 дано уравнение, выражающее закон сохранения импульса. Однако нас больше интересует здесь энергия, почему мы и произведём в нем замены
????
=
????
фотон
,
????
=
????
фотон
,
????
²
=
????
²-????².
В результате получим уравнение
????²
-
????²
=
????
фотон
²
+
????
фотон
²
-
2
????
фотон
????
фотон
cos φ
,
в то время как собственно закон сохранения энергии даёт
????
фотон
+
????
=
????
фотон
+
????
,
если учесть, что электрон первоначально находился в покое, так что его полная энергия сводилась к энергии покоя ????. Теперь нас не интересует энергия ???? электрона после столкновения, и мы исключим её из полученных двух уравнений, получив, наконец, энергию фотона, рассеянного в направлении угла φ:
????
фотон
=
????
фотон
.
1
+
????
фотон
(1-cos φ)
????
Разделив левую и правую стороны этого равенства на массу покоя электрона ????, рассмотрим случай, когда ????фотон/????=2:
????фотон
????
=
2
1+2(1-cos φ)
.
Когда электрон крепко связан в атоме, в качестве массы ???? выступает масса этого атома в целом, и тогда эффективная величина отношения ????фотон/???? оказывается в 20 тысяч раз меньше, чем при рассеянии фотонов на свободных электронах. В случае крепко связанных электронов знаменатель в формуле, описывающей эффект Комптона, становится практически равным единице при любых углах φ, так что энергия рассеянного фотона оказывается очень близка к энергии падающего.
Рис. 152.
▲
71. Измерение энергии фотона
Рис. 153.
На рис. 153 изображена диаграмма импульсов, причём через ???? обозначен импульс электрона после столкновения. Для этого прямоугольного треугольника можно записать
????
²
=
????²
+
????
²
=
????
фотон
²
+
????
фотон
²
,
????
????
=
????фотон
????фотон
=
3
4
.
С другой стороны, имеют место закон сохранения энергии
????
фотон
+
????
=
????
фотон
+
????
и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона
????
²
-
????
²
=
????²
.
Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона
????
фотон
=
4????
12
(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:
????
фотон
=
3????
12
,
????
=
13????
12
,
????
=
5????
12
⎞
⎟
⎠
.
▲
72. Энергия и частота фотона
а) В случае фотона, движущегося вдоль оси ????, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству
????'
=
???? ch
θ
????
-
???? sh
θ
????
=
????(ch
θ
????
-
sh
θ
????
)
=
????????⁻
θ????
,
где мы учли формальные определения функций ch θ и sh θ, приведённые в табл. 8.
б) Нулевая вспышка (????=0) проходит через начало координат в момент ????=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением ????=????, т.е. ????-????=0. Вспышка № 1 (????=1) проходит через начало координат в момент ????=????/ν, так что величина её ????-координаты всегда на ????/ν меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки:
????
=
????
-
????
ν
т.е.
1
=
ν
????
(????-????)
.
Вспышка № ???? проходит через начало координат в момент ????????/ν, и её ????-координата всегда на ????????/ν меньше, чем у нулевой вспышки: ????=????-????????/ν, т.е. ????=ν/????⋅(????-????).
Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той же скоростью ???? и в лабораторной системе отсчёта, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчёта ракеты, дают уравнение
????
=
ν'
????
(????'-????')
.
Подставим сюда значения ????' и ????' из формул преобразования Лоренца; мы получим
????
=
ν'
????
(????-????)(
ch
θ
????
+
sh
θ
????
),
????
=
ν'
????
(????-????)
????
θ????
.
Приравнивая друг другу выражения для ????, полученные в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты, найдём
ν'
=
ν
????⁻
θ????
.
в) Равенства, полученные в частях а) и б) этого упражнения, выглядят одинаково, и это говорит за то, что энергия фотона ???? пропорциональна его классической частоте (как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты). Коэффициент пропорциональности определяется на основании других экспериментов, которых мы здесь не касаемся; окончательно получим
????
=
ℎ
????²
ν
.