Страница 174 из 188
10
⁶
Сириус А
2,34
1
,78
38
,9
0,016
31
,7
26
⋅
10
⁶
Капелла А
4,18
15
,9
120
0,045
0
,080
5
⋅
10
⁶
В таблице 56, заимствованной у Чандрасекара [3], приведены результаты вычислений некоторых характеристик для трёх звёзд, полученные при предположении, что звёзды построены согласно стандартной модели. При вычислениях были заданы значения ????, ????, ???? и было принято μ=1.
Эддингтон, основываясь на своей модели звезды, сделал заключение о существовании зависимости между массами и светимостями звёзд. Его рассуждение (в несколько изменённом виде) было следующим. Рассмотрим соотношения (35.54) и (35.60). Исключая из них величину β, мы приходим к зависимости между величинами ????, ????, ϰη и μ. Будем считать, что величины ϰη и μ одинаковы для всех звёзд. Тогда получается зависимость между ???? и ????. При этом при малых ????, (т.е. при значениях β, близких к 1) соотношения (35.54) и (35.60) дают
????
~
????³
,
(35.62)
а при больших ???? (т.е, при малых значениях β) из (35.49) следует
????
~
????
,
(35.63)
Эддингтон сопоставил свои теоретические выводы с наблюдательными данными о массах и светимостях звёзд и получил согласие между ними. Разумеется, это согласие нельзя считать подтверждением рассматриваемой теории, так как при её построении был сделан ряд необоснованных предположений (главным из которых является предположение о постоянстве ϰη внутри звезды). Однако интересно то, что при этих исследованиях Эддингтон впервые получил зависимость между массами и светимостями звёзд из наблюдательных данных. Как известно, эта зависимость является одним из фундаментальных соотношений звёздной астрономии.
§ 36. Физические процессы внутри звёзд
1. Уравнение состояния звёздного вещества.
В предыдущем параграфе были в общих чертах выяснены физические условия в звёздных недрах (т.е. оценены значения плотности, температуры и давления). Теперь мы перейдём к рассмотрению физических процессов, идущих при таких условиях. Это позволит нам, в частности, получить выражения для тех параметров, которые входят в основные уравнения теории внутреннего строения звёзд.
Из приведённых выше результатов [например, из формулы (35.27)] следует, что с углублением в звезду происходит значительное увеличение температуры. Этим обусловлена сильная ионизация атомов внутри звезды. Как известно (см. § 13), отношение числа ионизованных атомов ????⁺ к числу нейтральных атомов ????₁ даётся следующей формулой:
????
????
????⁺
????₁
=
????⁺
????₁
2(2π????????????)³/²
ℎ³
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁
????????
⎞
⎟
⎠
,
(36.1)
где χ₁ — энергия ионизации из основного состояния. Аналогичной формулой определяется и отношение числа ???? раз ионизованных атомов к числу ????-1 раз ионизованных атомов. Из формулы (36.1) видно, что степень ионизации существенно зависит от отношения χ₁/???????? и, грубо говоря, атомы переходят в следующую стадию ионизации, когда это отношение становится порядка единицы. Поэтому лёгкие атомы, обладающие небольшими энергиями отрыва последнего электрона (в частности, водород и гелий), оказываются полностью ионизованными уже в поверхностных слоях звезды. А от тяжёлых атомов по мере проникновения в глубь звезды отрывается все большее и большее число электронов.
Таким образом, газ внутри звезды (представляющий собой высокотемпературную плазму) состоит из большого числа свободных электронов, из «голых» ядер лёгких атомов и из тяжёлых атомов, лишённых значительной части своих электронных оболочек. Такой состав газа внутри звезды следует принимать во внимание при написании уравнения состояния газа и, в частности, при определении его среднего молекулярного веса.
При рассмотрении звёздных атмосфер в качестве уравнения состояния вещества мы брали уравнение состояния обычного идеального газа. Можно было бы думать, что при углублении внутрь звезды газ перестаёт быть идеальным вследствие сильного возрастания его плотности. Однако в действительности почти полная ионизация атомов внутри звезды приводит к резкому уменьшению размеров частиц (от размеров атомов порядка 10⁻⁸ см до размеров ядер порядка 10⁻¹³ см). Благодаря этому и внутри звезды газ остаётся идеальным, т.е. уравнение состояния газа мы можем записать в виде
????
=
????
????????
,
(36.2)
где ???? — число частиц в 1 см³. Переходя здесь от концентрации ???? к плотности ρ при помощи соотношения
????
=
ρ
μ????????
,
(36.3)
где μ — средняя молекулярная масса и ???????? — масса атома водорода, вместо (36.2) получаем
????
=
????
μ????????
ρ????
,
(36.4)
т.е. уравнение, совпадающее с ранее использовавшимся уравнением (35.26) (так как ????∗=????/μ????????).
Величина μ, входящая в уравнение состояния (36.4), имеет важное значение для теории внутреннего строения звёзд. Найдём эту величину, пользуясь формулой (36.3) и имея в виду, что плотность ρ определяется в основном атомами, а концентрация ???? — как атомами, так и свободными электронами. В качестве первого приближения все атомы внутри звезды будем считать полностью ионизованными.
Допустим сначала, что звезда состоит из одного элемента с атомным номером ???? и атомной массой ????. Так как при полной ионизации на каждый атом приходится ???? свободных электронов, то мы имеем
????
=
ρ
????????????
(1+????)
.
(36.5)
Поэтому для величины μ получаем
μ
=
????
1+????
.
(36.6)
Формула (36.6) даёт для водорода μ=¹/₂, для гелия μ=⁴/₃, для других элементов μ≈2. Таким образом, средняя молекулярная масса внутри звезды заключена в сравнительно небольших пределах. Однако даже небольшие различия в величине μ весьма существенны. Это объясняется тем, что температура согласно формуле (35.28) пропорциональна μ, а от температуры чрезвычайно сильно зависит количество энергии, выделяющейся при ядерных реакциях.
На самом деле звезда состоит из смеси разных элементов. Чтобы получить формулу для μ в этом случае, обозначим через ???????? весовую долю элемента с атомным номером ???? (т.е. будем считать, что на грамм звёздного вещества приходится ???????? граммов атомов данного элемента). Для величины ???? теперь находим
????
=
∑
????????ρ
????????????
(1+????)
,
(36.7)
где суммирование производится по всем элементам. Подстановка (36.7) в (36.3) даёт
μ
=
1
.
∑
????
????
(1+????)