Страница 173 из 188
????
????
.
(35.43)
Выражение для величины ???????? определяется механизмом переноса энергии внутри звезды. Исследования показали, что основным из этих механизмов является лучеиспускание (хотя в некоторых случаях необходимо принимать во внимание конвекцию и теплопроводность).
Если считать, что энергия внутри звезды переносится только лучеиспусканием, то из уравнения переноса излучения находим
????????????
????????
=-
ϰρ
????
????
????
,
(35.44)
где ???????? —давление излучения, ϰ — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и ???? — скорость света.
Из (35.43) и (35.44) следует
????????????
????????
=-
ϰρ
????
????????
????
.
(35.45)
Подставляя (35.42) в (35.45), имеем
1
????²
????
????????
⎛
⎜
⎝
????²
ϰρ
????????????
????????
⎞
⎟
⎠
=-
ε
????
ρ
.
(35.46)
Это и есть искомое уравнение энергетического равновесия звезды.
При получении уравнения механического равновесия мы понимали под ???? газовое давление. В дальнейшем будем понимать под ???? сумму давлений: газового и светового. Иными словами, будем считать
????
=
????
????
+
????
????
,
(35.47)
где
????
????
=
????∗
μ
ρ????
(35.48)
и
????
????
=
1
3
????????⁴
.
(35.49)
Если приведённые выражения для давлений подставить в уравнения (35.5) и (35.46), то мы получим систему двух уравнений для определения двух неизвестных функций от ????: плотности ρ и температуры ????. Входящие в эти уравнения величины ε, ϰ и μ должны считаться известными функциями от ρ и ????.
5. Стандартная модель звезды.
До открытия ядерных реакций как источника звёздной энергии величина ε не была известна. Поэтому в теории внутреннего строения звёзд приходилось делать различные предположения относительно этой величины, в результате чего получались разные модели звёзд. Важную роль в теории сыграла модель, предложенная Эддингтоном. Её обычно называют стандартной моделью звезды.
В качестве уравнений механического и энергетического равновесия звезды возьмём уравнения (35.4) и (35.45). Поделив второе из этих уравнений на первое, получаем
????????????
????????
=
ϰ????????
4π????????????????
.
(35.50)
Введём обозначение
????????
????????
=
η
????
????
.
(35.51)
Подставляя (35.51) в (35.50), имеем
????????????
????????
=
ϰη
4π????????
????
????
.
(35.52)
Эддингтон сделал предположение, что внутри звезды
ϰη
=
const
.
(35.53)
При таком предположении вся правая часть уравнения (35.52) будет постоянной. Поэтому, обозначив
ϰη
4π????????
????
????
=
1-β
.
(35.54)
из (35.47) находим
????
????
=
(1-β)
????
,
(35.55)
а значит,
????
????
=
β????
.
(35.56)
Мы видим, что при выполнении предположения (35.53) отношение газового давления к световому не меняется в звезде.
Из формул (35.48), (35.49), (35.55) и (35.56) следует
(1-β)
????
=
1
3
????????⁴
,
β????
=
????∗
μ
ρ????
.
(35.57)
Исключая из этих соотношений ????, получаем
????
=
????ρ⁴
/
³
,
(35.58)
где
????
=
⎡
⎢
⎣
3(1-β)????∗⁴
αβ⁴μ⁴
⎤¹/₃
⎥
⎦
.
(35.59)
Если считать, что средний молекулярный вес μ постоянен в звезде, то величина ???? также будет постоянной. Поэтому уравнение (35.58) будет представлять собой политропную зависимость между ???? и ρ при ????=⁴/₃. Иными словами, стандартная модель звезды оказывается политропным шаром ????=3. Следовательно, распределение плотности, давления и температуры в стандартной модели даётся приведёнными выше формулами, основанными на решении уравнения Эмдена. В частности, сделанные выше оценки плотности и температуры в центре Солнца при ????=3 соответствуют стандартной модели.
Ранее для политропного шара формулой (35.24) была определена постоянная ???? в зависимости от ????, ???? и ????. Теперь, пользуясь этой формулой, мы можем найти величину р внутри звезды. Приравнивая друг другу выражения для ????, даваемые формулой (35.24) при ????=3 и формулой (35.59), получаем, что величина β определяется уравнением
1-β
=
????₁
μ⁴
????²
β⁴
,
(35.60)
где
????₁
=
π????³????
48????∗⁴[????₁²????'(????₁)]²
.
(35.61)
Из уравнения (35.60) видно, что доля светового давления 1-β растёт вместе с массой звезды (β=1, когда ????=0, и β=0, когда ????=∞).
Таблица 56
Характеристики звёзд
согласно «стандартной модели»
Звезда
????/????
☉
????/????
☉
????/????
☉
1-β
ρ
????
????
????
Солнце
1,00
1
,00
1
,00
0,003
76
,5
20
⋅