Страница 7 из 19
1Kи= 3,7 • 1010 Бк. (1.12)
Физический смысл постоянной радиоактивного распада λ, введенной Резерфордом и Содди, можно прояснить следующим образом. Положим в соотношениях (1.8) A/A0 = N/N0 = I/I0 = 0,5. Время, протекшее c момента произвольно выбранного начала отсчета (при t = 0 A = A0, N = N0, I = I0) до момента достижения указанного состояния, называется периодом полураспада и обозначается: t(A/A0 = N/N0 = I/I0 = 1/2) = T1/2
Отсюда следует: .
Или, что то же самое: .
После логарифмирования (в системе натуральных логарифмов) обеих частей последнего равенства получаем соотношение: ln2 = λT1/2, откуда следует:
λ = ln2/T1/2. (1.13)
Если положить в общем случае A/A0 = N/N0 = I/Io = 1/n (рассматривать уменьшение начальной активности и начального числа ядер не в два раза, а в n раз), то λ = lnN/T1/n. Допустим, что n = e (основание натуральных логарифмов). Тогда очевидно, что
λ = lne/T1/e= 1/T1/e , то есть (1.14)
постоянная радиоактивного распада равна обратному значению отрезка времени, по истечении которого активность радионуклида и число нераспавшихся ядер уменьшаются в e раз. Это время на языке физической статистики называют средним временем жизни атома радиоактивного вещества.
Среднее время жизни равно сумме времен существования всех атомов, деленной на их начальное число (No при t =0). Поскольку N является очень большим числом, то эту сумму можно заменить эквивалентным интегралом, полагая N непрерывной функцией от t (как и было принято выше).
Число атомов, распадающихся в промежуток времени между t и t + dt, равно λNdt =λNoe – λtdt. Эти атомы имеют продолжительность жизни t. Следовательно, общая продолжительность жизни всех атомов данной группы будет равна t λ N0 e – λtdt.
Суммарную продолжительность жизни (τ) всех N0 атомов можно получить, проинтегрировав полученное выражение по t в пределах от 0 до ∞
и поделив его на N0:
, (1.15)
откуда следует, что τ = T1/e = 1/λ .
Таким образом, используя соотношения (1.10), (1.13) – (1.15), можно разносторонне интерпретировать физический смысл λ :
(1.16)
Из последнего равенства (λ = A/N) следует, что λ можно истолковать как меру, определяющую число актов распада, в единицу времени приходящееся на один атом (атомное ядро) в среднем. Эта мера и есть вероятность распада в единицу времени в собрании N атомов (ядер) в расчете на один атом (ядро).
Отсюда видно, что размерность величины λ – обратные секунды (с – 1). Табулируют значения констант радиоактивного распада обычно в этих единицах, но гораздо чаще прибегают к понятию «период полураспада» как к интуитивно более понятной величине. При этом выражают его в привычных и обозримых единицах, – от долей секунды до нескольких миллиардов и более лет.
Статистическое обоснование закона радиоактивного распада было предложено Э. Фон Швейдлером в 1905 году. Как только что было выявлено, каждое радиоактивное ядро имеет определенную вероятность распада, а константа λ и есть величина вероятности этого события. Можно показать, что из такого толкования радиоактивности непосредственно следует эмпирически установленный Резерфордом и Содди экспоненциальный закон распада.
Допустим, что вероятность испытать распад в течение некоторого промежутка времени Δt для всех ядер данного радионуклида равна величине wΔt, которая пропорциональна только этому промежутку времени Δt, т.е. wΔt = kΔt, где k – коэффициент пропорциональности. Вероятность же пережить этот промежуток времени (т.е. не распасться), как вероятность противоположного события, будет равна 1 – wΔt = 1 – kΔt. Вероятность пережить некоторый больший промежуток времени t1 = hΔt, где h – произвольное число, будет уже вероятностью сложного события (наступление h раз события, вероятность которого равна 1 – kΔt). Эта вероятность в соответствии с теоремой об умножении вероятности выразится следующим образом: wt1 = (1 – wΔt)h = (1 – kΔt)h.
Прологарифмируем это равенство: lnwt1 = hln(1 – kΔt).
Пусть при постоянном значении t1 = hΔt Δt стремится к 0. Тогда, полагая слагаемое kΔt величиной, пренебрежимо малой по сравнению с единицей, разлагая в ряд ln(1–kΔt) по малому параметру и ограничиваясь линейным членом разложения, получим:
lnwt1 = – hkΔt = – kt1.
Потенцируя это выражение и полагая, что в силу произвольности выбора отрезка времени t1 индекс «1» не имеет значения, получим:
wt = e – kt.
С другой стороны, вероятность атому (ядру) не распасться в течение времени t можно оценить как отношение числа «благоприятных» исходов к их общему числу (в течение времени t каждому атому можно поставить в соответствие только два исхода: он либо распадется, либо не распадется; последний исход и назван здесь «благоприятным»).
Иными словами, если в момент времени, выбранный как начальный (t = 0), существовало N0 атомов радионуклида, то математическое ожидание числа атомов или среднее число атомов, не распавшихся за время t, будет равно:
N = wt No= Ne–kt, (1.17)
а это и есть одно из выражений закона радиоактивного распада (1.9); кроме того, становится очевидным, что коэффициент пропорциональности k, связывающий вероятность ядру испытать распад в течение промежутка времени Δt с его величиной, совпадает с константой радиоактивного распада λ как по статистическому смыслу, так и вследствие изоморфизма уравнений (1.9) и (1.17).
Таким образом, k = wΔt/Δt≡ λ ≡ A/N, что обсуждено выше (1.16).
1.3.5. Связь активности с массой
В химии гравиметрия («весовой анализ») является арбитражным аналитическим методом. Какими бы ни были методы анализа, применяемые в настоящее время (сейчас получили распространение физико-химические и физические методы), все они так или иначе, применительно к задачам количественного анализа, сводятся к необходимости использовать некоторые исходные вещества в качестве эталонов. Последние могут быть изготовлены с использованием, в конечном итоге, аналитических весов.