Страница 31 из 33
В дальнейшем, если не будет указано иное, по умолчанию будет использоваться температурная шкала Кельвина.
Связь между температурой, объемом и давлением
Определение температуры, каким мы вывели его в предыдущем параграфе, дает понять, что она не связана со скоростью молекул. Чтобы понять, откуда же берется эта связь, определим, от чего зависит описанная таким образом температура.
• Пункт первый. По определению температуры по Кельвину удвоенный объем газа соответствует удвоенной температуре (при атмосферном давлении), то есть при определенном давлении температура пропорциональна объему газа.
• Пункт второй. Заключим газ в твердый баллон с определенным объемом. Нагреем баллон: температура повысится, но на этот раз объем не сможет возрасти параллельно. Мы замечаем, что при этом увеличивается давление: если температура по Кельвину удваивается, то удваивается и давление газа.
Таким образом, при определенном объеме температура пропорциональна давлению газа (установлено опытным путем).
В более общем смысле опыты показывают, что температура T просто пропорциональна произведению давления P и объема газа V.
• Пункт третий. Предыдущий результат верен только для конкретного количества газа: если мы возьмем газа в два раза больше (при определенном давлении и температуре), очевидно, что занимаемый объем будет вдвое больше. Например, при давлении в 1 бар и температуре 20 °C объем воздуха в 20 л содержит вдвое больше молекул, чем объем в 10 л.
Таким образом, произведение PV пропорционально температуре не только T, но также количеству молекул n, которое содержит газ.
Мы запишем это как PV = nkT, где k соответствует константе пропорциональности, которая называется постоянной Больцмана.
ОБЪЯСНЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО НУЛЯ
Экспериментальное выражение PV = nkT позволяет найти объяснение существованию минимальной температуры, ниже которой не существует.
И действительно, оно подразумевает, что при определенном объеме газа давление пропорционально температуре: иными словами, нулевая температура соответствует нулевому давлению. Между тем мы выяснили, что давление внутри газа происходит из-за столкновения молекул друг с другом: эти удары воздействуют с большой силой на любой предмет, который им встречается.
Если давление нулевое, значит, ударов больше нет, а это возможно, только если молекулы будут неподвижны. Но мы уже упоминали, что температура связана с этим движением молекул: если они неподвижны, такое состояние соответствует нулевой температуре. Имеется в виду, что ниже температура опуститься уже не может…
Предыдущее выражение записывается также Отношение n/V означает количество молекул на 1 м³ газа: это называется концентрацией, которую мы обозначим c. Таким образом, мы получаем PV = kcT: давление пропорционально произведению концентрациии температуры.
Это отношение, полученное опытным путем, будет очень полезно для понимания связи между температурой и микроскопической кинетической энергией, которая так нас интересует.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
В выражении PV = nkT, которое мы получили, n представляет количество молекул газа в объеме V. Между тем число это огромно: мы уже говорили, что в кубическом сантиметре воздуха содержится десять миллиардов миллиардов молекул.
Именно поэтому мы предпочитаем выражать количество материи не в молекулах, а в молях. Моль представляет собой количество атомов, содержащихся в 12 г углерода, что соответствует огромному количеству материи: один моль воздуха содержит миллион миллиардов миллиардов молекул…
Если мы обозначим количество молей ν, предыдущее выражение приобретает вид: PV = νRT.
Изменилась только постоянная пропорциональности: из k она превратилась в R, которая называется универсальной газовой постоянной. А полученное выражение называется уравнением состояния идеального газа.
Почему «идеального»? Потому что это выражение не проверено опытным путем при очень высоком давлении по причинам, о которых мы расскажем в главе 11. Таким образом, когда можно использовать это выражение (что вполне устраивает физиков), говорят, что газ идеальный.
Отметим, что при атмосферном давлении воздух ведет себя совершенно как идеальный газ, что придает этому выражению большую значимость.
Теперь, когда мы прояснили ситуацию с определением температуры и ее зависимостей, вернемся к понятию энергии, а именно кинетической энергии.
Какое определение мы могли бы ей дать?
Очевидно, что в определении кинетической энергии должна присутствовать скорость: чем быстрее мы шагаем, тем больше у нас энергии. Но в игру вступает и другой параметр.
Выстрелите ядром из пушки: оно может пробить стену. Выстрелите теннисным шариком с той же скоростью: пробить стену будет гораздо сложнее. Мы интуитивно чувствуем, что при одинаковой скорости теннисный шарик обладает меньшей энергией, чем пушечное ядро. Причина в том, что ядро обладает гораздо большей инертностью (= массой), чем шарик: после выстрела ему трудно будет остановиться. Таким образом, инертная масса тоже должна быть упомянута в определении кинетической энергии.
Мы могли бы выразить кинетическую энергию в виде EK = mν (где m – масса объекта, а ν – скорость). Но нужно учесть еще одно обязательное правило, которое мы себе установили: чтобы соответствовать интуитивному смыслу, кинетическая энергия должна быть связана с понятием температуры.
Однако можно показать, что температура пропорциональна mν², где ν² – квадрат средней скорости всех молекул тела, которое не обладает общим движением (доказательство этого довольно сложно, мы вынесли его во врезку ниже). Именно поэтому мы выразим кинетическую энергию объекта с массой m и скоростью ν следующим образом EK = ½mν².
ТЕМПЕРАТУРА И ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ
Чтобы понять связь между температурой и скоростью молекул, необходимо совершить путешествие в микромир. Мы ограничимся примером газа со стандартным давлением окружающей среды. Более того, предположим, что этот газ неподвижен, то есть не подвержен макроскопическому движению (= нет ветра).
Опытным путем мы уже установили связь между температурой и давлением, то есть остается определить связь между давлением и скоростью молекул, чтобы вывести из нее связь между температурой и скоростью этих молекул.
Сразу уточним важный факт: из-за бесконечных столкновений между собой молекулы перемещаются в самых разных направлениях с очень разными скоростями. То есть поведение газа на микроскопическом уровне весьма беспорядочно.
Предположим, что в газ поместили перегородку, каждая из молекул будет сталкиваться с ней с разной скоростью. В дальнейшем мы назовем νx составляющую скорости, вектор которой перпендикулярен перегородке (см. схему ниже). Именно эта составляющая будет управлять силой удара о перегородку. Чтобы немного упростить наши рассуждения, на первое время представим, что все молекулы обладают одной и той же скоростью νx.
Давление газа соответствует силе, с которой он действует на перегородку в 1 м² из-за столкновения с ней молекул. Чем больше молекул ударяет в перегородку за единицу времени, тем выше давление. Таким образом, давление пропорционально концентрации молекул и их скорости νx (потому что чем быстрее движутся молекулы, тем больше их ударяется в перегородку за единицу времени).
Чтобы определить давление, остается определить силу, с которой действует каждая из молекул: формула F→; = ma нам в этом поможет. Она показывает, что сила пропорциональна массе молекулы и ее ускорению, то есть изменению ее скорости за единицу времени.
Однако во время удара молекула сначала затормозит из-за электростатического отталкивания, а потом полетит в другую сторону (см. схему ниже). На схеме мы видим, что меняется только составляющая скорости νx: сначала она переходит от νx к нулю, а потом меняет направление и возрастает от 0 до νx. То есть изменение этой составляющей во время удара составляет 2νx.