Страница 23 из 29
Это справедливо для любой игры, в которой преимущество сторон поддается вычислению, а размеры выплат не зависят от ставок, сделанных в предыдущих розыгрышах или другими игроками. Примерами таких игр могут служить орлянка, крэпс, кено, рулетка или «денежное колесо» – при условии, что у игрока нет устройства, предсказывающего, например, результат вращения колеса. Скачки и фондовый рынок отличаются от таких игр, поскольку вычисление вероятностей невозможно, а ставки других игроков могут повлиять на размер выплаты.
Вера в неизбежность выигрыша казино в долговременном масштабе подкреплялась соображениями «здравого смысла»: если бы в блэкджек можно было выигрывать, казино либо изменили бы правила, либо вообще отказались бы от этой игры. Ничего этого пока что не происходило. Но, убедившись на своих опытах в возможности предсказания рулетки, я не собирался принимать на веру и эти утверждения относительно блэкджека. Я решил проверить самостоятельно, может ли игрок систематически выигрывать.
5
Покорение блэкджека
В блэкджеке меня привлекали не деньги. Хотя нам и не помешали бы несколько лишних долларов, мы с Вивиан были готовы к обычной жизни ученых с небольшими доходами. Меня занимала возможность найти способ выигрывать силой мысли, не выходя из собственной комнаты. Мне также было любопытно исследовать мир азартных игр, о котором я тогда ничего не знал.
Вернувшись из Лас-Вегаса, я отправился в библиотеку УКЛА, в тот ее отдел, где хранились исследовательские статьи по математике и статистике. Я нашел том, в котором была статья[47] о стратегии, по которой я играл в казино, и стал читать ее, не отходя от полки. Как всякий математик, я слышал, что создание выигрышной системы, по общему мнению, невозможно, но я не знал, почему это так. Я знал, что начало теории вероятностей положила написанная более четырехсот лет назад книга об азартных играх. Предпринимавшиеся в последующие столетия попытки найти выигрышную систему стимулировали развитие этой теории и в конце концов привели к доказательству того, что создание выигрышной системы для игр, в которые играют в казино, в большинстве случаев невозможно. Теперь мне на помощь пришла привычка все проверять самостоятельно.
Просматривая уравнения, я внезапно понял, как можно выиграть в этой игре и как доказать такую возможность. Я начал с того, что стратегия, которую я использовал в казино, предполагала, что в игре с равной вероятностью может быть сдана любая карта. В этом варианте она уменьшала преимущество казино до всего лишь 0,62 %, самого низкого значения, которое можно найти в какой-либо из азартных игр. Но я осознал, что по ходу игры шансы на выигрыш должны изменяться в зависимости от того, какие карты еще остались в колоде: уровень преимущества должен колебаться, иногда в пользу казино, а иногда – и в пользу игрока. Игрок, отслеживающий появление карт, мог бы изменять размеры своих ставок в соответствии с такими колебаниями. Общая картина, возникшая у меня в голове на основе идей, почерпнутых в одном из курсов высшей математики[48], позволяла предположить, что преимущество игрока во многих случаях может быть значительным. Более того – и это тоже была новая идея, – я понял, как игрок может обобщать и использовать эту информацию в реальной игре за столом казино.
Я решил начать с определения оптимальной стратегии для игры с использованием знания уже вышедших карт. В таком случае я мог бы ставить больше, когда шансы были благоприятны для меня, и меньше в других ситуациях. Хотя казино выигрывало бы большее число мелких ставок, я смог бы выигрывать большинство крупных. При достаточном увеличении ставок в благоприятных ситуациях я мог бы выйти вперед и остаться в выигрыше.
Я вернулся домой из библиотеки УКЛА и стал обдумывать свои дальнейшие действия. Почти сразу же я написал Роджеру Болдуину, одному из четырех авторов статьи о блэкджеке, и попросил его прислать мне подробности их вычислений, объяснив, что хочу заняться углубленным анализом игры. Через несколько недель он великодушно прислал мне все расчеты – две большие коробки лабораторных журналов, заполненных тысячами страниц вычислений, которые авторы статьи выполнили на настольных калькуляторах, пока служили в армии. Весной 1959 года, урывками находя время, не занятое преподавательской работой и исследованиями на математическом факультете УКЛА, я изучил эти материалы до мельчайших подробностей. Со все возрастающим возбуждением я старался как можно быстрее разделаться с огромным объемом расчетов, отделявшим меня от создания выигрышной системы.
Стратегия Болдуина была оптимальной для игры, в которой ничего не известно об уже разыгранных картах. Анализ, представленный в статье, был выполнен для игры в одну колоду, потому что в то время это был единственный вариант игры, используемый в Неваде. Группа Болдуина также доказала, что рекомендации ведущих специалистов по азартным играм были неправильными и приводили к необоснованному увеличению преимущества казино на 2 %.
Таблица стратегии для блэкджека должна подсказывать игроку правильные действия в каждом из случаев, соответствующих одной из десяти возможных открытых карт дилера и одному из пятидесяти пяти возможных вариантов пар карт, сданных игроку. Чтобы найти наилучший вариант розыгрыша карт игроком в этих 550 разных ситуациях, нужно рассчитать все возможные варианты раздачи следующих карт, а также результаты игры и размеры выплаты для каждого из них. Могут существовать тысячи, даже миллионы разных вариантов розыгрыша каждой руки. Объем вычислений для всех 550 возможных ситуаций – и это если рассматривать только случай игры в одну полную колоду – огромен. Если игроку приходит пара, таблица стратегии должна подсказать ему, стоит ли разделять эту пару. После этого нужно решить, удваивать ли ставку: если игрок это делает, размер ставки увеличивается в два раза, а игрок получает в дополнение к двум первым картам руки еще одну, и только одну, карту. Наконец, нужно принять последнее решение – продолжать прикупать карты или «остановиться». Я собирался, определив выигрышную стратегию, изложить все эти мириады решений в форме маленькой наглядной карточки, такой же, какую я сделал себе для стратегии Болдуина. Это позволило бы получить визуальное представление о схемах игры и значительно облегчило бы запоминание оптимальных действий в каждом из 550 возможных случаев.
Вычисления, произведенные группой Болдуина для полной колоды, были приблизительными, так как на проведение точных расчетов на настольных калькуляторах не хватило бы и всей жизни. Работа, за которую я взялся в 1959 году, была гораздо более масштабной, так как мне нужно было вывести стратегию для всех миллионов вариантов частично разыгранной колоды[49]. Чтобы оценить масштабы этой задачи, предположим, что дилер начинает раздачу со «сноса» одной карты – именно такова была в то время обычная практика. Это означает, что он берет верхнюю карту колоды и перекладывает ее вниз, перевернув ее лицевой стороной вверх, чтобы знать впоследствии, что эту карту не следует разыгрывать. В игре остается пятьдесят одна карта. Поскольку снесенная карта может иметь одно из десяти возможных значений – туз, 2… 9 или 10, – мы получаем десять разных случаев, которые нужно проанализировать. Что, если, как это часто случается, нам удалось увидеть снесенную карту и мы хотим использовать знание о том, что она вышла из игры? Можно применить к каждому из этих десяти случаев анализ Болдуина и составить для каждого из них по таблице стратегии для всех 550 возможных игровых ситуаций. Тогда мы получим одиннадцать таблиц: одну для полной колоды и по одной для каждого варианта с одной недостающей картой.
Теперь предположим, что нам известны две недостающие карты, а в игре остается всего пятьдесят карт. Каково число возможных колод по пятьдесят карт? Поскольку существует сорок пять вариантов составления пар из карт разного значения – (Т, 2), (Т, 3)… (Т, 10); (2, 3), (2, 4)… (2, 10); и так далее – и десять вариантов составления пар одинаковых карт – (Т, Т), (2, 2)… (10, 10), – это число равно пятидесяти пяти. Это порождает еще пятьдесят пять расчетов и пятьдесят пять таблиц стратегии, составление каждой из которых при помощи настольного калькулятора, по методу группы Болдуина, может занять двенадцать человеко-лет. Продолжая в том же духе, можно составить таблицы стратегии для всех таких неполных колод. Для колоды из пятидесяти двух карт существует около тридцати трех миллионов вариантов таких частично разыгранных колод, что дает в конечном счете гигантскую[50] библиотеку из тридцати трех миллионов таблиц стратегии.
47
Baldwin Roger, Wilbert Cantey, Herbert Maisel and James Mcdermott. The Optimum Strategy in Blackjack // Journal of the American Statistical Association, 51 (1956): 429–439. (прим. переводчика)
48
Этот курс касался теории измерений, лежащей в основе теории вероятностей и статистики. (прим. автора)
49
Из одной колоды 52 карты можно выбрать пять разных подмножеств, содержащих 0, 1, 2, 3 или 4 туза. Для каждой из карт от двойки до девятки также можно создать пять вариантов неполной колоды, а для карт, стоящих по десять очков, таких вариантов, содержащих от 0 до 16 этих карт, будет семнадцать. В сумме получаем 5 × 5 × … × 5 × 17 – 1 (пятерок в этом произведении девять, по одной для каждой карты от двойки до девятки), то есть чуть более 33 миллионов разных неполных колод. Вычитание единицы учитывает случай, в котором в колоде оставлено по нулю карт всех достоинств, что дает подмножество, не содержащее ни одной карты. Для игры в восемь колод соответствующее число равно 33 × … × 33 × 129 – 1, или около 6 квадриллионов (6 с пятнадцатью нулями) неполных колод. (прим. автора)
50
Любителям подсчетов предлагается представить себе, что каждая из этих таблиц выписана на отдельном листке бумаги размером с долларовую купюру. По моим оценкам, объем долларовой купюры равен 1,08 кубического сантиметра, следовательно, таблицы займут 37 кубометров. В случае восьми колод этот объем увеличивается до 6,5 кубического километра. (прим. автора)