Страница 6 из 10
Средняя геометрическая невзвешенная величина характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическая взвешенная применяется в случае, если темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов:
где – средняя геометрическая взвешенная (средний темп прироста);
х – количество периодов, при которых темпы роста оставались неизменными.
6. Средняя квадратическая – средняя степенная при показателе степени k = 2.
Различают следующие основные виды средних квадратических величин: средняя квадратическая невзвешенная, средняя квадратическая взвешенная.
Средняя квадратическая невзвешенная
используется при расчете степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической. Средняя квадратическая взвешенная:
Все формы средней (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т. д.) образованы от единой степенной средней и отличаются друг от друга показателями степени k.
Правильность расчета средней величины можно проверить с помощью правила мажорантности: чем выше степень рассчитываемой формы средней величины, тем больше значение средней:
9. Медиана и мода. Абсолютные и относительные показатели вариации
1. Второй большой класс средних величин – структурные средние, используемые для определения структуры совокупности. К ним относятся мода и медиана. В отличие от степенных средних, рассчитывающихся на основе использования всех вариантов значений признака, медиана и мода характеризуют величину варианта, занимающего определенное среднее положение.
Для определения понятий моды и медианы требуется определение вариационного ряда. Построение ряда – процесс упорядочения количественного распределения элементов совокупности по значениям признака с последующим подсчетом числа элементов совокупности с этими значениями.
Выделяют следующие основные виды вариационного ряда по количественному признаку:
☞ ранжированный;
☞ дискретный;
☞ интервальный вариационный.
Ранжированный ряд – распределение отдельных элементов совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака. Дискретный ряд – распределение, основу которого составляют признаки с прерывным изменением, так называемые дискретные признаки – признаки, принимающие только конечное число определенных значений. Интервальный вариационный ряд – распределение признаков, имеющих непрерывное изменение, которые в определенных границах могут принимать любые значения.
Медиана (Ме) – величина, соответствующая находящемуся в середине ранжированного ряда варианту.
Для нахождения медианы необходимо определить ее положение в ранжированном ряду.
Положение медианы (NМе) в ранжированном ряду определяется:
где n – число единиц в совокупности.
В медианном интервале сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений. Численное значение медианы:
где х0 – нижняя граница интервала;
h – величина интервала;
n – число членов ряда;
Σ(m – 1) – сумма накопленных членов ряда, предшествующих медианному;
nМе – частота медианного интервала.
Мода (Мо) – значение признака, наиболее часто встречающегося у единиц совокупности.
В дискретном ряду модой будет вариант с наибольшей частотой. Для определения моды сначала определяют модальный интервал, т. е. интервал, имеющий наибольшую частоту.
Значение моды определяется по формуле:
где x0 – нижняя граница модального интервала;
h – величина модального интервала;
nm – частота модального интервала;
nm—1 – частота интервала, предшествующего модальному;
nm+1 – частота интервала, следующего за модальным.
2. Вариация – одна из важнейших категорий, применяемых в статистической науке, поскольку явления неизменные в статистике не рассматриваются. Также под вариацией понимают изменчивость только явлений, на которые оказывают влияние внешние факторы.
Вариация (лат. variatio – различие, изменение, колеблемость) – числовые значения признаков единиц совокупности, отличающиеся друг от друга.
Исследование вариации позволяет определить уровень зависимости изучаемого явления от прочих факторов (оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям); определить уровень однородности изучаемого явления; изучить явления, протекающие в обществе, характерные высоким уровнем их изменчивости.
3. В статистике принято различать следующие основные виды вариации:
☞ альтернативная – признак может принять только одно из двух, противоположных по своей сути, значений;
☞ систематическая – изменение признака в определенном направлении, не обусловленное внутренними законами развития исследуемого явления;
☞ случайная – изменчивость признака непредсказуема.
Показатели вариации бывают относительными и абсолютными (непосредственно характеризующими изменчивость исследуемой совокупности).
Выделяют несколько основных групп абсолютных показателей вариации.
Размах вариации (R), или амплитуда вариации, показывает пределы изменчивости признака; это разность между максимальной величиной признака (xmax) и минимальной величиной признака (xmin):
R = xmax – xmin.
К группе средних величин (групповых и общих) относятся: степенные средние величины (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т. д.); структурные средние величины (мода и медиана).
Среднее линейное отклонение () учитывает различия всех единиц исследуемой совокупности. Определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений, взятых по модулю, от средней. Различают простое (невзвешенное) и взвешенное среднее линейные отклонения.
Среднее линейное отклонение невзвешенное: