Страница 8 из 35
Генрих Рудольф Герц, около 1893 года.
Следовательно, Гильберт свел непротиворечивость евклидовой геометрии к непротиворечивости арифметики, что на тот момент было чем-то само собой разумеющимся, хотя вскоре он признал: проблема остается открытой и имеет высокий приоритет (и вскоре мы в этом убедимся). Неевклидовы геометрии основывались на евклидовой, которая, в свою очередь, держалась на арифметике действительных чисел. Как во сне индийского мудреца, мир покоится на спинах слонов, а те стоят на спине черепахи. Ну а черепаха? Вопрос о непротиворечивости арифметики сразу же обрел остроту. В своей книге Гильберт этот вопрос не затронул, тем не менее он считал, что совместимость арифметических аксиом может быть доказана довольно просто (как же он ошибался!).
Наконец, третье требование, которое Гильберт выдвинул через несколько лет,— это, по возможности, полнота (хотя она едва намечена в «Основаниях»). Аксиоматическая система называется полной, если в рамках системы мы можем доказать все пропозиции, являющиеся истинными относительно объектов системы, то есть если ни одна из истин не избегает доказательства, если все истины доказуемы. Когда непротиворечивость убеждает нас в том, что все доказуемое верно («все теоремы — истины»), полнота гарантирует нам обратное: все истинное доказуемо («все истины — теоремы»). Если система аксиом, которую он предложил для евклидовой геометрии, была полной, она позволяла вывести все известные ныне и в будущем результаты евклидовой геометрии.
Не будем опережать события, но ответ на этот вопрос не был пустяком. В итоге Гильберт убедился, что любая аксиоматическая система, представляющая минимальный интерес, является неполной. В ней истинное не совпадает с доказуемым. Существуют истинные пропозиции, которые не могут быть доказаны. Данная парадоксальная ситуация напоминает положение следователя, который точно знает, кто убийца, но неспособен доказать это. К счастью, в 1951 году польский логик Альфред Тарский (1902-1983) выяснил, что элементарная версия евклидовой геометрии является полной — очевидно, что эта версия не содержит арифметики, поэтому не противоречит знаменитым теоремам о неполноте арифметики Курта Гёделя (1906-1978).
Подведем итог. Гильберт предъявлял своей геометрической аксиоматике три требования: независимость, непротиворечивость и полнота. Немецкий математик был убежден, что его аксиоматика минимальна, доказав, в частности, что аксиома параллельных прямых и аксиома Архимеда независимы от прочих. Кроме того, он частично разрешил задачу непротиворечивости, доказав относительную непротиворечивость геометрии арифметике. Таким образом были заложены основы, на которых можно аксиоматически изучать любую геометрию — евклидову или неевклидову, архимедову или неархимедову, — и показано, как можно вывести известные геометрические результаты в зависимости от того, какие группы аксиом приняты.
КРИКИ БЕОТИЙЦЕВ
В письме, адресованном одному коллеге в 1829 году, Гаусс признавался, что в жизни не опубликует ничего по неевклидовой геометрии, так как опасается «криков беотийцев». Немецкий математик намекал на кантианцев, для которых евклидова геометрия была единственно возможной, поскольку единственность пространства предполагала единственность геометрии. Физическое пространство — математическая геометрия. Гаусс не отправил в печать результаты своих исследований, боясь скандала, поскольку открытие неевклидовых геометрий поставило бы под сомнение всю кантианскую философию. Если существует более одной логически мыслимой геометрии, задаваться вопросом об истинности определенной одной — все равно что выяснять, является ли десятичная система более истинной, чем двоичная, а декартова — более истинной, чем полярная. Относительность геометрии подчеркивала, в противовес идеям Канта, что пространство аморфно, и нет смысла спрашивать, какая геометрия истинна. Гаусс был не единственным математиком, испытывавшим антипатию к великому Канту. Георг Кантор признавался, что чтение его работ вызывает у него недомогание, и называл прусского мыслителя «софистом-филистером, который так мало знает о математике».
Как и у Гаусса, у Гильберта были свои позитивные и негативные моменты при взаимодействии с одним философом, которые были следствием идей, изложенных им в «Основаниях геометрии». Речь о логике и философе Готлобе Фреге (1848-1925). Этот угрюмый преподаватель Йенского университета считался отцом современной логики (см. главу 4), одним из самых упрямых защитников аксиоматического подхода Античности. Реакция Фреге на книгу Гильберта не заставила себя долго ждать. Так началась переписка, и так стало нарастать недопонимание.
В первом письме, отправленном в конце 1899 года, Фреге обрушился на «Основания геометрии» с суровой и педантичной критикой. Раздраженный, но взявший себя в руки Гильберт ответил другим развернутым посланием. В дальнейшем он был более лаконичным, и когда Фреге предложил ему опубликовать переписку, Гильберт категорически отказался. И все же эта полемика представляет собой большой интерес, поскольку демонстрирует открытое столкновение двух концепций аксиоматического метода — старой и традиционной, представляемой Фреге, и новой, начатой Гильбертом.
Фреге никогда не оспаривал кантианский анализ геометрии и не допускал никаких других методов, кроме аксиоматического, описанного Аристотелем во «Второй аналитике» и задействованного Евклидом в «Началах». Аксиомы были очевидными истинами, связанными с реальностью. Следовательно, аксиома параллельных прямых была либо истинной, либо нет. Но и того и другого одновременно быть не могло. В одном из писем немецкий философ возмущался:
«Никто не может служить двум хозяевам разом: если евклидова геометрия истинна, нужно вычеркнуть неевклидову геометрию из списка наук и поставить ее в ряд с алхимией и астрологией».
Позиция ретрограда помешала ему понять, что для Гильберта аксиомы — всего лишь абстрактные схемы, сформулированные с практической целью как начала математической теории.
Недовольство Фреге возросло, когда тот прочитал, что Гильберт готов называть «точками», «прямыми» и «плоскостями» любые три произвольных множества, которые удовлетворяли его аксиомам, пусть даже это будут столы, стулья и пивные кружки. Фреге считал, что аксиомы касаются реальных вещей и, следовательно, едва ли у них может быть более одной интерпретации. Гильберт парировал в ответном письме:
«Каждая теория — всего лишь набор понятий и некоторых связывающих их отношений, ее базовые элементы могут быть произвольными. Если под точками и прочим я понимаю любую систему вещей, например систему, образованную любовью, законом, щеткой для чистки труб и так далее, и сочту, что для этих вещей все мои аксиомы справедливы, то справедливыми для этих вещей окажутся и мои теоремы, как, например, теорема Пифагора. Другими словами, каждая теория может быть применена к бесконечному числу систем базовых элементов».
Когда Фреге опубликовал пару крупных статей, в которых назвал его шарлатаном, через Алвина Корсельта (1864-1947), Гильберт ответил: «Мы можем озаглавить ее как «пустая и бессмысленная игра знаков» или как-то в этом духе; но как законной связи между пропозициями ей не нужно никакое другое специальное название».
Любопытно, что употребление терминов в аксиомах смутило и Анри Пуанкаре. Французский математик подключился к критике Гильберта, поскольку ему были неприятны те, кто стремился свести математику к чистым формальным отношениям символов. Он написал подробную рецензию, обвинив немца в мошенничестве, поскольку аксиоматический метод не является созидательным. Этот неоригинальный концептуализирующий инструмент маскирует или прячет то, что должен аксиоматизировать. По мнению Пуанкаре, в «Основаниях геометрии» всегда подразумевается евклидова геометрия, хотя Гильберт это и отрицал. Пусть его аксиоматика и претендует на то, чтобы представлять собой ряд скрытых определений, она происходит из уже существующей теории и ограничивается лишь ее реорганизацией. Французский титан вновь потеснил немецкого титана.