Страница 6 из 32
2. Множества
1. Что такое множество? Ответить на этот вопрос не так просто, как это кажется на первый взгляд. В повседневной жизни и практической деятельности часто приходится говорить о некоторых совокупностях различных объектов: предметов, понятий, числе, символов и т.п. Например, совокупность деталей механизма, аксиом
- 20 -
геометрии, чисел натурального ряда, букв русского алфавита. На основе интуитивных представлений о подобных совокупностях сформировалось математическое понятие множества как объединения отдельных объектов в единое целое. Именно такой точки зрения придерживался основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор.
Множество относится к категории наиболее общих, основополагающих понятий математики. Поэтому вместо строгого определения обычно принимается некоторое основное положение о множестве и его элементах. Так, группа выдающихся математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки, исходит из следующего положения: «Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств».
2. Множество и его элементы. Утверждение, что множество А состоит из различимых элементов а1, а2, ... , аn (и только из этих элементов), условно записывается A= {а1, а2, ... , аn}. Принадлежность элемента множеству (отношение принадлежности) обозначается символом ∈ ,т.е. а1 ∈ A, а2 ∈ A,... аn ∈ A, или короче . Если b не является элементом A, то пишут b ∉ A или b ∈̅ A
Два множества A и B равны (тождественны), A = B, тогда и только тогда, когда каждый элемента А является элементом В и обратно. Это значит, что множество однозначно определяется своими элементами.
Множество может содержать любое число элементов — конечное или бесконечное. Соответственно имеем конечные (множество цифр 0, 1, ..., 9 или страниц в книге) или бесконечные (множество натуральных чисел или окружностей на плоскости) множества. Не следует, однако, связывать математическое понятие «множество» с обыденным представлением о множестве как о большом количестве. Так, единичное (одноэлементное) множество содержит только один элемент. Более того, вводится также понятие пустого множества, которое не содержит никаких элементов. Пустое множество обозначается специальным символом ∅.
Роль пустого множества ∅ аналогична роли числа нуль. Это понятие можно использовать для определения заведомо несуществующей совокупности элементов (например, множество зеленых слонов, действительных корней уравнения x2 + 1 = 0). Более существенным мотивом введения пустого множества является то, что заранее не всегда известно (или неизвестно вовсе), существуют ли элементы, определяющие какое-то множество. Например, множество выигрышей в следующем тираже спортлото на купленные билеты может оказаться пустым. Никто еще не знает, является ли
- 21 -
пустым или нет множество всех решений в целых числах уравнения x3 + y3 + z3 = 30. Без понятия пустого множества во всех подобных случаях, говоря о каком-нибудь множестве, приходилось бы добавлять оговорку «если оно существует».
3. Множество и подмножества. Множество А, все элементы которого принадлежат и множеству В, называется подмножеством (частью) множества В. Это отношение между множествами называют включением и обозначают символом ⊂, т.е. А ⊂ В (А включено в В) или В ⊃ А (В включает А). Например, множество конденсаторов электронной цепи является подмножеством всех ее компонентов, множество положительных чисел — это подмножество множества действительных чисел.
Отношение А ⊂ В допускает и тождественность (А = В), т.е. любое множество можно рассматривать как подмножество самого себя (А ⊂ А). Полагают также, что подмножеством любого множество является пустое множество ∅ т.е. ∅ ⊂ А. Одновременное выполнение соотношения А ⊂ В и В ⊂ А возможно только при А = В. И обратно А = В, если А ⊂ В и В ⊂ А. Это может служить определением равенства двух множеств через отношение включения.
Наряду с А ⊂ В, в литературе можно встретить и другое обозначение А ⊆ В. При этом под А ⊂ В понимают такое отношение включение, которое не допускает равенства А и В (строгое включение). Если допускается А = В, то пишут А ⊆ В (нестрогое включение). Мы будем придерживаться принятого ранее обозначения как для строгого, так и для нестрогого включения.
4. Множество подмножеств. Любое непустое множество А имеет, по крайней мере, два различных подмножества: само А и пустое множество ∅. Эти подмножества называются несобственными, а все другие подмножества А называют собственными(эта терминология связана со словами «собственно подмножества», а не со словом «собственность»). Конечные собственные подмножества образуются всевозможными сочетаниями по одному, два, три и т.д. элементов данного множества.
Элементы множества сами могут являться некоторыми множествами. Например, книга из множества книг в шкафу может рассматриваться как множество страниц. Здесь следует обратить внимание на то, что речь идет об элементах множества, а не о подмножествах (никакая совокупность страниц не может рассматриваться как подмножество множества книг).