Страница 23 из 32
которая получается по индукции из формулы для двух событий.
Здесь - условная вероятность события Ai, вычисленная при условии, что произошли события A1, A2,..., Ai-1.
9. Объединение событий. Простая формула для вероятности появления одного из несовместных событий (6) нуждается в обобщении, если события совместны. Пусть из n равновозможных исходов событию А благоприятствуют mA исходов, а событию B — mB исходов. Так как множества совместных событий пересекаются, то сумма mA + mB, кроме исходов, благоприятствующих появлению
- 79 -
одного из событий А или В, дважды учитывает mAB исходов, благоприятствующих одновременному появлению А и В. Поэтому из общего числа исходов n появлению событий А или В (или обоих вместе) будут благоприятствовать mA + mB - mAB исходов, на основании чего имеем
Эта формула получена из каких-либо ограничений относительно характера событий А и В:
для зависимых событий
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -P(A)PA(B),
для независимых событий
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -P(A)(B).
10. Независимость и несовместность. При использовании приведенных соотношений необходимо четко понимать смысл таких свойств событий, как независимость и несовместностью. Условиями независимости событий можно рассматривать каждое из соотношений
P(A ∩ B) = P(A) + P(B); PA(B) = P(B)
Так, при бросании двух игральных костей вероятности событий А(дубль) и В(меньше 6 очков) равны соответственно P(A) = 6/36 = 1/6 и P(B) = 10/36 = 5/18. Одновременному появлению этих событий соответствует подмножество A ∩ B = {(1,1),(2,2)} и его вероятность P(A ∩ B) = 2/36=1/18. Так как P(A ∩ B) B≠ P(A)P(B), то рассматриваемые события являются зависимыми. С другой стороны, событие В при условии наступления события А определяется как подмножество {(1,1),(2,2)} основного множества {(1,1),(2,2), (3,3),(4,4}{(5,5),(6,6)}, и PA(B) = 2/6 = 1/3, т.е. не совпадает с P(B)= 5/18. По соответствующим формулам имеем:
P(A ∩ B) = P(A)PA(B) = 1/6 · 1/3 = 1/18;
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A)PA(B) = 1/6 + 5/18 -1/6 · 1/3 = 7/18.
Очевидно, те же результаты получим, если пример В в качестве дополнительного условия для А. Так как множество {(1,1),(1,2),
- 80 -
(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}, соответствующее событию В, служит основным для события А, то
PB(A) = 2/10 = 1/5,
и следовательно получаем:
P(A ∩ B) = P(B)PB(A)= 5/18 · 1/5 = 1/18;
P(A ∪ B) = P*A) + P(B) — P(B)PB(A) = 1/6+5/18-5/18· 1/5=7/18.
Общее условие несовместности событий выражается как
P(A ∩ B) = 0,
что соответствует A ∩ B = ∅. Так, в рассматриваемом примере A ∩ B = {(1,1),(2,2)} ≠ ∅, следовательно, события А и В совместны.
Независимые события А и В при ненулевых вероятностях P(A) и P(B) всегда совместны. Действительно, из соотношения P(A ∩ B) = P(A)(B) имеем P(A ∩ B) ≠ 0, а значит и A ∩ B ≠ ∅, что свидетельствует о совместности независимых событий. Однако совместность событий не обязательно влечет их независимость. Из условия A ∩ B ≠ ∅ при P(A ∩ B) ≠ 0 следует лишь, что P(A ∩ B) ≠ 0 и условная вероятность PA(B) ≠ 0. Но может иметь место неравенство PA(B) = P(B), что означает зависимость рассматриваемых совместных событий.
Зависимые события А и В при ненулевых вероятностей P(A) и P(B) могут быть как совместными, так и несовместными. В первом случае A ∩ B ≠ ∅, и поэтому условные вероятности PA(B) и PB(A) не равна нулю, т.е. одно из событий может наступить при условии, что произошло другое событие. Во втором случае A ∩ B = ∅, следовательно, условные вероятности зависимых и несовместных событий PA(B) = PB(A) = 0. Это значит, что пир наступлении события А событие В произойти уже не может, а наступлении события В не может произойти событие А. В то же время из несовместности событий (A ∩ B = ∅) следует их зависимость, что выражается равенством нулю условных вероятностей PA(B) и PB(A). Иначе говоря, если события А и В несовместны, то при наступлении одного из них другое произойти не может, т.е. несовместные событие не могут быть независимыми.
Несовместность совокупности событий A1, A2, ..., An, следует из их попарной несовместимости, т.е. из условия
Ai ∩ Aj = ∅ (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j).
- 81 -
Однако полная независимость совокупности событий, вообще говоря, еще не определяется их попарной независимостью. Кроме условий
P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj) (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j),
должны выполняться также аналогичные условия для любых сочетаний по 3, 4, ... , n событий. Например, для трех событий условие полной независимости выражается системой соотношений:
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2);
P(A1 ∩ A3) = P(A1)P(A3);
P(A2 ∩ A3) = P(A2)P(A3);
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3).
Невыполнение хотя бы одного из этих соотношений свидетельствовало бы о том, что события A1, A2 и A3 в совокупности зависимы. На практике, однако, попарная независимость обычно влечет за собой и независимость в совокупности.
Задачи и упражнения
1. Какова вероятность угадать все шесть номеров (из 49) в спортлото?
2. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черны?
3. Найдите на основе рассмотрения множества событий при бросании двух игральных костей (каждая кость имеет шесть равноправных граней, пронумерованных от 1 до 6) вероятность следующих событий:
а) на одной кости четыре очка, а на другой — меньше четырех;
б) на одной кости число очков вдвое больше, чем на другой;
в) сумма очков меньше пяти;
г) сумма очков больше восьми.
4. Какова вероятность открыть замок автоматической камеры хранения при случайном наборе цифр (замок открывается только при определенных значениях четырех десятичных цифр)?
5. Оцените вероятность того, что в группе из 23 студентов, по крайней мере, у двух студентов дни рождения совпадают.
6. Партия из 10 телевизоров принимается в магазине при условии, что случайно выбранные два из них окажутся исправными. Какова вероятность того, что магазин примет партию, содержащую 4 неисправных телевизора?
7. Два стрелка проводят по одному выстрелу, причем вероятности попадания в цель для них равны соответственно 0,8 и 0,9. Найдите вероятность поражения цели обоими стрелками и вероятность поражения цели хотя бы одни из них.
8. Исследуйте на независимость события А и В при следующих испытаниях:
а) из колоды в 52 карты выбирают одну: А - «туз»; В - «бубна»;
б) бросают две игральные кости: А - «одно очко на первой кости»; В - «четное число очков на второй кости»;