Страница 17 из 32
Охарактеризуйте полученные графы и запишите для них матрицы инцидентности.
10. Расположите на плоскости четыре вершины, как в графе на рис. 11, а, но обозначения вершин v2 и v3 взаимно переставьте. На множестве обозначенных таким образом вершин постройте граф, изоморфный исходному.
11. Выполните следующие упражнения с графом (см. рис. 11, а):
а) Найдите все ориентированные маршруты от вершины а к вершине е.
б) Найдите все пути и простые пути от вершины а к вершине е.
в) Определите все простые контуры графа.
13. В орграфе (см. рис. 8, а) измените направления дуг таким образом, чтобы он преобразовался в ациклический граф. Постарайтесь найти общее правило такого преобразования.
14. Для графа (см. рис. 12) простойте:
а) часть, состоящую из четырех вершин и пяти ребер;
б) суграф с четырьмя, пятью и шестью ребрами.
15. Два графа G' = (V', E') и G" = (V", E") называются непересекающимися, если V' ∩ V" = ∅ и E' ∩ E" = ∅. Постройте непересекающиеся подграфы графа рис. 12, содержащие по три вершины.
16. Постройте блоки, на которые разбивается сепарабельный граф (см. рис. 14, а).
17. Постройте все различные деревья с восьмью вершинами (их должно быть 23).
18. Постройте все покрывающие деверья и их дополнения для графа (см. рис. 11, а). Сколько имеется существенно различных деревьев?
19. Постройте покрывающий лес несвязанного графа (см. рис. 13).
20. Постройте все прадеревья оргарфа (см. рис. 8, а) с корнем в вершине d.
21. Рассматривая компоненты несвязанного графа (см. рис. 13) как блоки, постройте соответствующий сепарабельный граф. Сколько возможно различных вариантов (без учета изолированной вершины G2)?
22. Покажите, что приведенные на рис. 21 графы неплоские. Какое минимальное число ребер необходимо удалить из графа на рис. 21, а, чтобы он превратился в плоский? Сколько имеется различных способов такого превращения с точностью до изоморфизма?
23. Покажите, что графы на рис. 21, а и в гомеоморфные.
- 60 -
24. Докажите, что при удалении ребра граф остается связным тогда и только тогда, когда это ребро содержится в некотором цикле.
25. Докажите, что (p, p — k) — граф при k ≥ 2 всегда является несвязным и состоит не менее, чем из k компонент.
26. Изобразите все неизоморфные простые графы с пятью вершинами (изолированные вершины допускаются), содержащие три, пять восемь, девять и десять дуг (всего их должно быть 14).
27. Покажите, что число ребер полного графа равно 1/2 p(p — 1), где p — число его вершин.
28. Найдите общее выражение для числа ребер, при котором граф с p вершинами может быть несвязным.
29. Покажите, что любое дерево можно представить как двухдольный граф. Какие деревья являются полными двудольными графами?
Рис. 21. Неплоские графы.
30. Докажите: а) кубический граф имеет точку сочленения тогда и только тогда, когда он содержит мост; б) наименьшее число вершин в кубическом графе, имеющем мост, равно 10.
31. Постройте граф, изоморфный графу Понтрягина-Куратовского (см. рис. 19, б), в котором внешние ребра образуют шестиугольник. Рассматривая его как подграф полного шестиугольника, нарисуйте дополнение этого подграфа. Укажите характерные свойства полученного дополнения.
32. Покажите, что следующие свойства дерева Т равносильны:
а) Т связно и не содержит циклов;
б) Т не содержит циклов и имеет p — 1 ребер, где p — число вершин;
в) Т связно и имеет p — 1 ребер;
г) Т не содержит циклов, но добавление ребра между любыми двумя несмежными вершинами приводит к появлению цикла;
д) Т связно, но утрачивает это свойство при удалении любого ребра;
е) всякая пара вершин в Т соединена цепью и притом только одной.
5. Логика
1. Чем занимается математическая логика? Логика как искусство рассуждении зародилась в глубокой древности. Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Прошло два тысячелетия, прежде чем Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею последовательно реализовал в прошлом столетии Джордж Буль и тем самым заложил основы математической (символической) логики.
- 61 -
Главная цель применения в логике математической символики заключалась в том, чтобы свести операции с логическими заключениями к формальным действиям над символами. При этом исходные положения записываются формулами, которые преобразуются по определенным законам, а полученные результаты истолковываются в соответствующих понятиях.
Бурное развитие математической логики связано, прежде всего, с задачами обоснования математики, где она используется для доказательства непротиворечивости исходных понятий и правильности рассуждении и выводов математических теорий. Некоторые ученые даже склонны рассматривать логику как одну из наиболее общих наук, частью которой является сама математика.
В последние десятилетия логика находит все более широкое применение в технике при исследовании и разработке релейно-контактных схем, вычислительных машин, дискретных автоматов. Ее методы используются в теории преобразования и передачи информации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Математическая логика начинает внедряться в такие нематематические области, как экономика, биология, медицина, психология, языкознание, право. Интенсивно развиваются специальные разделы математической логики, призванные обслуживать конкретные области науки и техники.
Столь энергичный выход математической логики за пределы математики объясняется тем, что ее аппарат легко распространяется на объекты самой общей природы, лишь бы только они характеризовались конечным числом состояний.
Двузначная логика имеет дело с такими объектами, которые принимают одно из двух возможных значений (истинное или ложное высказывание, высокое или низкое напряжение, наличие или отсутствие заданного признака у объекта и т. п.). Объекты, которые могут принимать значения из конечного множества, содержащего больше двух элементов, называют многозначными. Они либо сводятся каким-нибудь способом к двузначным объектам, либо обслуживаются аппаратом многозначной логики.
Устоявшееся представление о математической логике как науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных условиях становится слишком узким. С расширением областей применения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача – структурное моделирование таких систем.
2. Булевы функции. Объекты с двумя возможными состояниями характеризуются булевыми переменными, которые способны принимать лишь два различных значения. Для обозначения этих двух значений обычно используются цифры 0 и 1 или буквы Л (ложно) и И (истинно).
- 62 -
Отношения между булевыми переменными представляются булевыми функциями, которые подобно числовым функциям могут зависеть от одной, двух и, вообще, n переменных (аргументов). Запись у = f(x1, x2, …,xN) означает , что у - функция аргументов x1, x2, …,xN. Важнейшая особенность булевых функций состоит в том, что они, как и их аргументы, принимают свои значения из двухэлементного множества {0,1}, или (И, Л}, т. е. характеризуются одним из двух возможных состояний.
Функции небольшого числа переменных можно задавать с помощью таблиц, подобных таблицам сложения и умножения одноразрядных чисел. Для этого нужно только указать значения функции для каждой комбинации значений ее аргументов. Основными в двузначной логике являются следующие три функции.