Страница 10 из 32
имеем:
Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (AB ≠ BA). Если же выполняется соотношение AB = BA, то матрицы А и В называю коммутирующими или перестановочными. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (AB)C = A(BC) = ABC (ассоциативностью), A(B + C) = AB + AC и (A +B)C = AC +BC (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).
Умножение (m × n) — матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. EmA = AEn = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.
Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:
6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при
- 34 -
сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается At или A':
Произвольная (m × n) — матрица при транспонировании становится ( n × m ) - матрицей, а элемент aij занимает ji — клетку, т.е. aij = atji.
Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = At, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением aij = aji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -At, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением aij = -aji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. aii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:
Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n2 элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только 1/2 n (n + 1), а для кососимметричной -1/2 n (n + 1) элементов.
- 35 -
Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица (A)t называется сопряженной с А и обозначается A*. Матрица, равная своей сопряженной, т.е. A = (A̅)t = A*, называется эрмитовой. Если A = -(A̅)t, то А — косоэрмитова матрица.
Легко показать, что транспонирование произведения АВ равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (AB)t = BtAt. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. (At)t = A.
7. Матричная запись системы линейных уравнений. Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений, что и обусловило и определение основных матричных операций. Система линейных уравнений:
записывается одним матричным равенством
Действительно, перемножив в правой части равенства ( m × n ) - матрицу на столбцевую матрицу, получим
- 36 -
Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если обозначить
то матричное равенство запишется еще короче
y = Ax.
Такое представление системы линейных уравнений оказалось возможным благодаря правилу умножения матиц, которое наилучшим образом подходит для этой цели. Однако исторически дело обстояло как раз наоборот: правила действий над матрицами определялись, прежде всего, исходя из удобства представлений систем линейных уравнений.
8. Линейные преобразования. Систему уравнений, записанную в начале предыдущего пункта, можно рассматривать как линейное преобразование совокупности величин x1, x2, ..., xn в совокупность y1, y2, ..., ym. Это преобразование полностью определяется коэффициентами aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). На языке матриц линейное преобразование y = Ax означает преобразование столбца х в столбец у, которое определяется матрицей преобразования А.
Пусть величины x1, x2, ..., xn получаются из некоторой совокупности величин z1, z2, ..., zn посредством линейного преобразования x = Bz, где x и z — столбцы соответствующих величин; В — матрица их преобразования. Тогда формальной подстановкой х в первое матричное уравнение получаем
y = Ax = A(Bz) = (AB)z = Cz,
где C = AB — матрица преобразования величин z и y. К этому же результату можно прийти путем подстановки значений x1, x2, ..., xn из второй системы уравнений в первую с учетом введенного ранее правила умножения прямоугольных матиц.
9. Обратная матрица. В обычной алгебре два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. Число, обратное числу a обозначают через a-1 и по определению aa-1 = 1
- 37 -
Аналогично в матричной алгебре две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т.е. AA-1 = A-1A = 1, называют взаимно обратными ( A-1 обратна A). Однако дальше этого аналогия не проходит.
Выражение a-1b, где a и b — числа, можно представить как частное от деления b на a, но для матриц такое представление не имеет смысла и в общем случае A-1B ≠ BA-1. Поэтому вместо операции деления В на А различают левое частное A-1B и правое частное BA-1, которые сводятся к умножению слева или справа на обратную матрицу A-1.
Способ обращения матрицы проще всего установить, рассматривая решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
В матричной форме эта система уравнений запишется как Ax = q, где А — квадратная матрица n-го порядка, называемая матрицей системы: x и q — столбцевые матрицы неизвестных переменных и свободных членов: