Страница 12 из 16
Говорят, что киник Диоген опроверг доводы Зенона довольно простым методом: он встал и прошел из одного конца комнаты в другой. Это весьма хороший довод в пользу того, что движение все же возможно, а значит, что-то не так с доводами Зенона[43]. Но где же была ошибка?
Разбейте путь в магазин на фрагменты, представленные в числовой форме. Сначала вы проходите половину пути. Затем преодолеваете половину оставшегося пути, то есть 1/4 общего расстояния, и у вас остается еще 1/4 пути. Далее половина оставшегося расстояния составляет 1/8, затем 1/16, затем 1/32. Таким образом, ваше перемещение к магазину можно представить в следующем виде:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
Сложив десять первых членов этой последовательности, вы получите 0,999. Сумма первых двадцати членов последовательности составит 0,999999. Другими словами, вы действительно приближаетесь – очень-очень приближаетесь – к магазину. Тем не менее, сколько бы членов этой последовательности вы ни сложили, вы никогда не получите 1.
Парадокс Зенона во многом напоминает другую головоломку: равна ли периодическая десятичная дробь 0,99999… единице?
Я видел, как люди едва не вступали в драку из-за этого вопроса[44]. По этому поводу ведутся жаркие споры на самых разных веб-сайтах, от страниц фанатов игры World of Warcraft («Вселенная Варкрафта») до форумов, посвященных творчеству Айн Рэнд. Наша естественная реакция на аргументы Зенона такова: «В конечном счете вы непременно получите свое мороженое». Но в данном случае интуиция подсказывает совсем иной ответ. Большинство людей{24} (если потребовать от них однозначного ответа) скажут, что 0,9999… не равно 1. Это число даже не похоже на единицу, это уж точно. Оно меньше единицы. Однако ненамного меньше! Подобно любителю мороженого в парадоксе Зенона, оно все ближе и ближе подходит к своей цели, но похоже на то, что так и не доберется до нее.
И все-таки преподаватели математики, в том числе и я сам, скажут им: «Нет, это число равно 1».
Как мне привлечь хоть кого-нибудь на свою сторону? Один хороший способ – привести следующие доводы. Все знают, что:
0,33333… = 1/3.
Умножьте обе стороны на 3 – и получите такой результат:
0,99999… = 3/3 = 1.
Если это вас не убедило, попытайтесь умножить 0,99999… на 10, для чего нужно просто перенести десятичную запятую на одну позицию вправо.
10 × (0,99999…) = 9,99999…
Теперь надо вычесть раздражающее десятичное число из обеих сторон равенства:
10 × (0,99999…) − 1 × (0,99999…) = 9,99999… − 0,99999…
Левая сторона равенства представляет собой просто 9 × (0,99999…), поскольку 10 умножить на что-то минус что-то равно 9 умножить на вышеупомянутую величину. А в правой части равенства нам удалось удалить ужасное бесконечное десятичное число, после чего у нас осталось просто 9. В итоге мы получим:
9 × (0,99999…) = 9.
Если 9 умножить на что бы то ни было равно 9, тогда это что-то должно быть равно 1, не так ли?
Как правило, чтобы убедить людей, подобных доводов вполне довольно. Но будем честны: в этой аргументации кое-чего не хватает. В действительности приведенные выше доводы не устраняют тревожную неопределенность, вызванную заявлением, что 0,99999… = 1; напротив, они представляют собой своего рода алгебраическое устрашение: «Вы верите в то, что 1/3 равно 0,3 в периоде, не так ли? Ведь вы действительно верите в это?»
Или еще хуже: скорее всего, вас убедили мои доводы, в основе которых лежало умножение на 10. Но как насчет следующего довода? Чему равно:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?
Здесь троеточие означает, что мы продолжаем вычислять сумму бесконечно, каждый раз прибавляя величину, которая в два раза больше предыдущей. Очевидно, что эта сумма должна быть бесконечной! Однако довод, во многом напоминающий на первый взгляд корректный аргумент в отношении 0,99999…, как будто говорит об обратном. Умножьте представленную выше сумму на 2 – и получите:
2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = 2 + 4 + 8 + 16 + …
Этот результат очень похож на исходную сумму; на самом деле это и есть исходная сумма (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …), но без 1 в начале, а это значит, что 2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) меньше (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …). Другими словами:
2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) – 1 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = −1.
Однако, выполнив упрощающие преобразования, левую сторону этого равенства можно привести к той самой сумме, с которой мы начали, получив при этом такой результат:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = −1.
Именно в это вы готовы поверить?[45] В то, что прибавление все больших и больших чисел до бесконечности приведет вас в область отрицательных чисел?
А вот еще более бредовая идея. Чему равно значение бесконечной суммы:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …?
Кто-то может сразу же сделать вывод, что эта сумма составляет:
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + …,
и заявит при этом, что сумма множества нолей, пусть и бесконечно большого, должна быть равной 0. С другой стороны, 1 − 1 + 1 – это то же самое, что 1 − (1 − 1), поскольку отрицательное значение отрицательного числа – число положительное. Многократное применение этой операции позволяет нам переписать нашу сумму в таком виде:
1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − … = 1 − 0 − 0 − 0 − …
Данный результат точно так же требует вывода, что данная сумма равна 1!
Так чему же равна эта сумма, 0 или 1? Или она в половине случаев равна 0 и еще в половине случаев – 1? Создается впечатление, что это зависит от того, где вы остановитесь, но ведь бесконечные суммы никогда не останавливаются!
Не делайте пока никаких выводов, потому что на самом деле все еще сложнее. Предположим, наша загадочная сумма имеет значение T:
T = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
Умножение на −1 обеих сторон этого уравнения дает следующий результат:
−T = −1 + 1 − 1 + 1 − …
Однако сумма с правой стороны уравнения – это именно то, что вы получите, если возьмете исходную сумму, равную Т, и удалите из нее первую 1, то есть вычтете 1 из этой суммы. Другими словами:
−T = −1 + 1 − 1 + 1 − … = T − 1.
Таким образом, −T = T – 1 – уравнение с участием Т, которое выполняется только в случае, если Т равно 1/2. Может ли сумма бесконечно большого количества целых чисел каким-то волшебным образом превратиться в дробное число? Тот, кто говорит «нет» в ответ на этот вопрос, действительно имеет право как минимум с некоторым недоверием относиться к сомнительным аргументам подобного рода. Но обратите внимание на то, что некоторые люди дают утвердительный ответ на этот вопрос, в том числе итальянский математик и священник Гвидо Гранди, именем которого обычно называют ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …. В работе, опубликованной в 1703 году, Гранди привел доводы в пользу того, что сумма данного ряда равна 1/2, а также заявил, что этот удивительный вывод символизирует сотворение Вселенной из ничего. (Не беспокойтесь, я тоже не понимаю последний пункт.) Другие выдающиеся математики того времени, такие как Лейбниц и Эйлер, были согласны со странными расчетами Гранди и даже с его интерпретацией{25}.
43
44
По правде сказать, речь идет о подростках из летнего математического лагеря.
24
См.: David O. Tall, Rolph L. E. Schwarzenberger. Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits // Mathematics Teaching, 1978, 82, p. 44–49.
45
Есть объект, 2-адические числа, для которых этот довод, на первый взгляд бредовый, абсолютно корректен.
Согласно теории Коши, сходимость ряда к пределу x означает, что когда вы суммируете все больше и больше членов этого ряда, итоговая сумма все больше приближается к значению x. Чтобы понять это, мы должны представлять, что значит «близость» двух чисел друг к другу. Оказывается, знакомое нам значение слова «близость» не единственное! В мире 2-адических чисел два числа считаются близкими друг к другу, если разность между ними представляет собой величину, кратную большой степени числа 2. Когда мы говорим, что ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … сходится к значению −1, мы тем самым утверждаем, что частичные суммы 1, 3, 7, 15, 31… все больше приближаются к −1. В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и −1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 25. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от −1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p). Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.
25
Информация о Гранди и его ряде взята в основном из работы: Morris Kline. Euler and Infinite Series // Mathematics Magazine, 1983, Nov., vol. 56, no. 5, p. 307–314.