Страница 21 из 55
Эквиаффинные преобразования, сохраняющие площади (объемы) фигур, впервые ввел в науку Сабита Ибн Корра в «Книге о сечениях цилиндра в его поверхности», что, видимо, является начальной точкой отсчета для гомологии, намного позднее развитой в ее «симметрийной» интерпретации в трудах В. И. Михеева и П. А. Заболотного, хота некоторые соображения по этому поводу содержатся в «Курсе кристаллографии» Е. С. Федорова (видимая симметрия), итальянского ученого Виолы (гармония) и А. В. Шубникова [158].
Наибольший вклад в современную тематику внес., разумеется, Л. Эйлер, хотя аффинные преобразования общего вида у европейских математиков впервые появляются у А. К. Кле,ро. Во втором томе «Введения в анализ бесконечных» Л. Эйлер фактически дает набор движений на плоскости, вводит понятие оси симметрии, описывает перенос, поворот, отражение от прямой и скользящее отражение. В другой работе Эйлером введено понятие косого отражения, косого растяжения. Им же доказана важнейшая теорема симметрии подобия — преобразование подобия всегда обладает неподвижной точкой.
К началу XX в. аффинная геометрия [* Термин «аффинная симметрия» впервые использован в статье: Заморзаев А. М. Развитие новых идей в федоровском учении о симметрии за последние десятилетия. — В кн.: Идеи Е. С. Федорова в современной кристаллографии и минералогии. Л.: Наука, 1974, с. 42—64.] полностью сформировалась, однако термин «симметрия подобия» появился только в работе А. В. Шубникова [247]. С другой стороны, в неявной форме симметрией подобия, распространенной в растительном и животном мире, давно и детально занимались ботаники. Как отмечает А. В. Шубников [343], со времен Ш. Бонне (XVIII в.) понятие филлотаксиса вошло в употребление в естествознании, хотя под несколько иным углом зрения этим занимались еще Леонардо да Винчи и Лука Паччоли, исследуя золотое сечение. Одна из наиболее интересных работ в этой области принадлежит братьям Браве, один из которых был ботаником, а второй — кристаллографом. Поскольку законы «геометрического мышления» едины, в этой работе соавторы, видимо, благодаря О. Браве, наиболее близко подошли к тому, что можно было бы определить как симметрию подобия, но не назвали ее. Довольно большое число работ конца XIX—начала XX в. посвящено близкой тематике: аддитивным рядам, биологической «симметрии», декоративному искусству и т. п., однако ни в одной из них явственно не прозвучал единственно правильный акцент в определениях преобразований, позволяющий говорить о «симметрии подобия».
Генетически работа А. В. Шубникова [247] связана с небольшой книжкой Г. В. Вульфа «Симметрия и ее проявление в природе», в которой без определения симметрии подобия большое внимание уделено симметрии растений. О том, как работа А. В. Шубникова была встречена научной общественностью, И. И. Шафрановский пишет: «В августе 1960 г. в Кембридже проходил 5-й Международный конгресс кристаллографов, участником которого был А. В. Шубников. Журнал „Кристаллография" посвятил конгрессу специальный выпуск, открывающийся статьей А. В. Шубникова „Симметрия подобия". Алексей Васильевич придавал большое' значение этой долго им вынашиваемой и тщательно оформленной работе. Его слегка опечалило то, что высказанная им идея о совершенно новом аспекте симметрии, имеющем повсеместное распространение в природе, не встретила тогда широкого отклика и достойной оценки со стороны участников конгресса» [Л. 57, с. 394]. Следует сказать, что эту идею сразу же взяли на вооружение кишиневские геометры, фактически завершившие всю теорию симметрии подобия.
Свою теорию симметрии подобия А. В. Шубников основывает на утверждении, что в рамках симметрии подобия равными считаются не только действительно равные фигуры, но и все подобные им. Им вводятся все основные виды операций, осуществляемых в рамках симметрии подобия.
Рис. 2. Фигура, имеющая симметрию подобия.
Статья А. В. Шубникова послужила основой для формирования целого раздела теории симметрии, базирующегося на объединении ортогональных и подобных преобразований. При отображении подобия параллельность и углы сохраняются неизменными. Как и множество ортогональных, «подобные» преобразования пространства (и плоскости) образуют группу, являющуюся подгруппой группы аффинных преобразований пространства (рис. 2).
Поскольку весь этот раздел теории симметрии связан с именем А. В. Шубникова, кратко рассмотрим пути его дальнейшего развития. Теория симметрии подобия и вывод групп развивались исследователями Кишиневской школы с 1963 по 1970 г. На основе связи групп симметрии подобия с группами направленных стержней, впевые отмеченной в работе Э. И. Галярского и А. М. Заморзаева, выведены двумерные группы симметрии и антисимметрии подобия, расширенные впоследствии до цветной симметрии и различного рода антисимметрии подобия. В 1967 г. вывод двумерных групп был расширен до вывода конических (с особенной плоскостью), а затем трехмерных групп, базирующихся на аналогии между группами цветной симметрии и группами симметрии подобия.
На примере теории симметрии подобия выпукло обрисовывается вклад А. В. Шубникова в теорию симметрии. В процессе развития теории симметрии подобия идеи А. В. Шубникова пересекались с его же идеями по антисимметрии, теории предельных и некристаллографических групп.
В работе А. В. Шубникова [158] намечено развитие теории ортогональной симметрии и в направлении гомологии, т. е. эквиаффинных преобразований. В самом деле, при анализе пар многогранников Л. Пастера автор вводит «в качестве особого симметричного преобразования косое отражение в плоскости и в качестве нового элемента симметрии косую плоскость симметрии» [158, с. 5]. Ревизуя само понятие равенства, А. В. Шубников определяет понятие «косого поворота... вокруг косой оси...» [158, с. 6]. Иными словами, автор вводит в рассмотрение принципы, лежащие в основе гомологии. По словам В. И. Михеева: «Важно заметить, что А. В. Шубников указывает на тесную связь косых элементов симметрии с однородными деформациями Е. С. Федорова...
Значение указанных работ А. В. Шубникова очень велико. Главное их достоинство в том, что они намечают несколько различных путей дальнейшего развития учения о симметрии. Один из этих путей совпадает с тем, который был принят Е. С. Федоровым и продолжен К. Виола...
Косые оси и плоскости симметрии были найдены А. В. Шубниковым попутно при решении проблемы о перспективах развития учения о симметрии, и сами они не были предметом специального исследования. Вероятно, этим и объясняется, что в работах не рассмотрены вопросы сложения косых плоскостей и осей симметрии, не упоминается о косых эллиптических осях симметрии или эллиптических осях гомологии».[* Михеев В. И. Гомология кристаллов. Л.: Гостоптехиздат, 1961, с. 32.]
Отметим, что в этой же работе А. В. Шубникова [158] упоминается о новом развитии понятия симметричности, которое в современной терминологии принято называть кратной антисимметрией. Иначе невозможно интерпретировать следующее высказывание автора: «Что касается... принципа сочетания альтернатив — не обязательно только двух, но и многих альтернатив, то он наверняка найдет себе применение для описания самых разнообразных множеств (многообразий) природных материальных образований» [158, с. 10].
На основе многогранников Л. Пастера в этой же работе фактически впервые возникает понятие «простой и кратной антисимметрии стереоэдров».
В заключение этого раздела приведем слова А. В. Шубникова: «Могут существовать самые разнообразные трактовки симметрии. Целесообразность той или иной из них определяется практикой, назначением для истолкования явлений природы, то есть относительных движений в широком философском смысле. Какой бы трактовки симметрии мы бы ни придерживались, одно остается обязательным: нельзя рассматривать симметрию, без,- ее антипода — диссимметрии.. В симметрии отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в диссимметрии — та их сторона, которая отвечает движению. Нет максимальной и минимальной симметрии, как нет абсолютного покоя и абсолютного движения.