Страница 5 из 9
Теперь отношение карты метро и настоящего маршрута поездов становится ясным. Карта метро – это топологическая трансформация физического маршрута подземки. В некотором смысле карта показывает версию маршрута поездов, которая была растянута и разглажена, будто она сделана из жвачки для рук. Согласно топологии, две формы – схема метро и маршрут, который в действительности существует в системе общественного транспорта, – идентичны.
Шанхайское метро в Китае является самым длинным метро, судя по длине маршрутов, его пути имеют протяженность более 330 миль. Но метро Нью-Йорка имеет самое большое количество остановок в мире – 468 станций.
1.10. Оригами
Математические понятия: геометрия, топология
Оригами – это японское искусство складывания фигурок из бумаги, в Соединенных Штатах оно является времяпрепровождением для детей. Многие из нас видели журавлей, стаканчики и шарики, заполненные воздухом, из бумаги. Но немногие подозревают, что оригами тесно связано с математикой.
Одним захватывающим свойством оригами является умение выйти за рамки традиционной математики, особенно геометрии. Используя лишь сложенную бумажку, человек может поделить угол на три равные части, это задание неподвластно циркулю и линейке в традиционной геометрии. Человек может также использовать оригами, чтобы удвоить куб, это еще одна задача, с которой геометрия справиться не может. (Удвоение куба – это проблема, которой занимались еще в Древнем Египте и Греции. Чтобы удвоить куб, нужно было создать куб, объем которого был бы вдвое больше объема заданного куба. Такую процедуру невозможно закончить, так как сторона большего куба будет равна кубическому корню из 2, а эту длину нельзя построить с помощью циркуля и линейки.)
На самом деле, математическое изучение оригами привело к созданию своих геометрических аксиом, совокупности принципов и определений, похожих на те, что изучал Евклид, известный математик, который жил в Греции более 2000 лет назад. Эти семь принципов известны как правила Фудзиты; они описывают все варианты получения одной новой складки на листе бумаги. Математика в оригами также привела к теореме Кавасаки, которая гласит, что в совокупности углов, которые исходят из одной точки, сумма переменных углов равна 180 градусам.
Сам предмет изучения оригами часто является математическим, помимо того что он становится практически независимой математической областью, которая имеет свои аксиомы и доказательства. Некоторые люди создают трехмерные фигуры из модульных компонентов оригами, которые имеют форму треугольников или пятиугольников. Некоторые люди делают оригами-версию платоновых тел, пяти правильных многогранников (это трехмерные фигуры, у которых все грани являются правильными многоугольниками). Другие же создают гиперболические параболоиды, имеющие форму седла и напоминающие нечто среднее между квадратом и бабочкой. И наконец, некоторые используют оригами, чтобы доказать теорему Пифагора.
В некотором смысле оригами и математика, кажется, делят одну ДНК. И нет ничего лучше, чем создавать что-то своими руками, чтобы лучше понять какое-то математическое понятие. Забудьте о карандашах и графиках, попытайтесь найти математику в складывании листов бумаги!
Каждый год в сотрудничестве с организацией OrigamiUSA Американский музей естественной истории создает Праздничное дерево, украшенное фигурками оригами. На елку вешают примерно 800 фигурок. В 2014 году тема основывалась на фильмах «Ночь в музее», поэтому среди фигурок можно было найти Теодора Рузвельта, Тираннозавра Рекса и статую с острова Пасхи.
1.11. Математика скрывается за запутанными наушниками
Математическое понятие: теория узлов
Это один из раздражителей современного мира. Вы ищете в кармане или сумке свои наушники и видите, что они спутаны в какой-то невообразимый узел, который невозможно распутать. Вы достаете садовый шланг из подвала – и смотрите-ка – он каким-то образом превратился в узел. Вы достаете из упаковки рождественскую светодиодную гирлянду, которая лежала на чердаке, и обнаруживаете сплошной ком из узлов. Почему так много вещей в нашей жизни постоянно запутываются, несмотря на наши попытки всеми способами избежать этого?
Оказывается, существует математическое объяснение тому, что длинные гибкие вещи, такие, как шнуры, шнурки и веревки, завязываются в узлы. Два физика из Калифорнийского университета в Сан-Диего опубликовали исследование на эту самую тему в 2007 году. По существу, есть только несколько вариантов, при которых скомканные веревкоподобные объекты оставались незапутанными – например, когда секции веревки остаются параллельными самим себе, не касаются друг друга и не имеют точек пересечения – и много-много вариантов, при которых веревка запутывается. Вообще, шнурок или веревка запутываются в течение нескольких секунд. Все, что для этого нужно – это один свободный конец, который пересекает часть самой веревки. На этом этапе свободному концу уже ничего не стоит запутаться в остальной части веревки.
Во время своего исследования команда из Сан-Диего поместила веревки разной длины на 10 секунд во вращающуюся коробку, которая работала от мотора. Они проанализировали получившиеся узлы с помощью математической теории узлов, пытаясь найти математическое уравнение (в этом случае полином Джонса), которое бы соответствовало каждому узлу. (Теория узлов классифицирует узлы по количеству пересечений.) Они обнаружили, что в 96 % случаев узлы были простыми, то есть число пересечений варьировалось от 3 до 11. Команда также обнаружила, что чем короче была веревка – меньше полуметра, – тем меньше узлов на ней образовывалось, но если длина приближалась к 2 или 6 метрам, то вероятность запутывания резко возрастала, вплоть до 50 %. Если же веревка была длиннее, то вероятность сильно не возрастала.
Поэтому вы можете сколько угодно ругать свои наушники, но когда в следующий раз кропотливо будете распутывать их, попытайтесь оценить математику, скрывающуюся за ними.
Запутанные телефонные шнуры породили целую индустрию. В те времена, когда люди полностью полагались на телефонные аппараты с проводом, изобретатели создали специальные устройства против спутывания: от вращающихся на 360 градусов частей до трубок, которые вставлялись в витой шнур, для того чтобы оградить людей от этого ежедневного раздражителя.
1.12. Почему велосипедные шестерни разных размеров
Математические понятия: геометрия, передаточное отношение
В прошлом велосипеды выглядели чудаковато. В XIX веке у велосипедов были огромные передние колеса и крохотные задние колеса. Педали прикреплялись непосредственно к переднему колесу, которое могло достигать почти 5 футов (более 150 см) в диаметре, а человек должен был запрыгивать на сиденье как на лошадь. Такие велосипеды вскоре вышли из моды, отчасти из-за того, что если велосипед наезжал на кочку, то человек мог запросто перелететь через руль. Позднее производители начали делать велосипеды, используя шестерни и цепи, такое нововведение не только позволило человеку сидеть по центру велосипеда и улучшило тем самым баланс, но также позволило менять передачи в зависимости от местности. Вам необязательно менять передачи, когда вы едете по ровной поверхности, но когда вы поднимаетесь на холм, смена передачи может показать разницу между непринужденной ездой на велосипеде или толканием его в гору. Но как на самом деле работает смена передач? Каким образом они помогают ехать в гору или с горы эффективнее?