Страница 10 из 30
16. Центром же круга называется эта точка.
17. Диаметр круга есть любая прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
19. Прямолинейные фигуры есть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние — между тремя, четырехсторонние — между четырьмя, многосторонние же — которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.
20. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный — имеющая только две равные стороны, разносторонний — имеющая три неравные стороны.
21. Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же — имеющий тупой угол, остроугольный — имейощий три острых угла.
22. Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя, и прямоугольная, прямоугольник же — разносторонняя и прямоугольная, ромб — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) — имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней, ни прямоугольной.
23. Параллельные прямые — это прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с одной стороны друг с другом не встречаются.
ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД В «НАЧАЛАХ»
Мы увидели, что определения не подразумевают факт существования определяемого объекта,— его надо установить. Для этого необходимо решить задачу вида «существует ли такой предмет, как...». В сочинении Евклида для построения геометрических объектов используются только прямые и окружности, других инструментов не дается. Следовательно, единственные существующие точки — те, которые возникают в местах пересечения этих линий.
После того как объект построен и задача решена, нужно убедиться, что он именно такой, как нужно, то есть построение соответствует характеристикам, данным в определении. Необходимо сформулировать теорему. Теоремы «устанавливают существование как данное»; они говорят «вот объект» и констатируют, что между различными утверждениями есть логическая связь.
Для решения задач необходим анализ, то есть знание некоторых базовых сведений, которые позволяют построить объект. Например, если дана сторона АВ, нужно подумать, какие инструменты потребуются для построения равностороннего треугольника. Для этого можно представить его уже построенным и рассмотреть, что связывает все его части (см. построение пятиугольника в главе 4). В теоремах же главное — синтез от постулатов к требуемому результату. Первое предложение первой книги, несмотря на всю его простоту, позволяет нам проследить разницу между анализом и синтезом.
Книга I, предложение 1.
На данной ограниченной прямой можно построить равносторонний треугольник (см. рисунок).
Части теоремы
Protasis (утверждение)
Построить равносторонний треугольник на заданной прямой.
Ekthesis (изложение)
Дана прямая АВ.
Diorismos (ограничение)
Необходимо построить равносторонний треугольник на АВ.
Kataskeue (построение)
Проведем окружность АВ с центром А и радиусом АВ (постулат 3).
Проведем окружность ВА с центром В и радиусом ВА (постулат 3).
Проведем прямые СА и СВ из точки С, в которой пересекаются две окружности (постулат 1).
Apodeixis (доказательство)
Поскольку точка А — центр окружности АВ, СА равен АВ (определение 15). Аналогично, если В — центр окружности ВА, ВС равен ВА (определение 15). Но два объекта, равные одному и тому же объекту, равны между собой (общее понятие 1). Таким образом, СА также равен СВ. Следовательно, прямые АВ, СВ и СА равны.
Sumperasma (заключение)
Треугольник АВС равносторонний, и мы построили то, что требовалось. Ч. Т. Д. (что и требовалось доказать).
В этом предложении есть все необходимое (см. таблицу на следующей странице). Для построения используются постулаты 3 и 1. В доказательстве используется определение 15, общее понятие 1 и элементарная логика. Представив изначально равносторонний треугольник ЛВС, мы получаем множество отправных точек для построения и доказательства. Исходя из этого «идеального» образа можно провести синтетическое доказательство, поскольку в нем стороны равны и образуют треугольник. В другом случае, например с правильным пятиугольником, это будет гораздо сложнее.
Хотя у циркуля нет памяти, по первому постулату возможно «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой» и таким образом добавлять равные отрезки, необходимые для построения правильных фигур. Также возможно разделить отрезок на меньшие части.
Проанализируем еще два доказательства, чтобы рассмотреть логико-дедуктивный метод «Начал».
Книга I, предложение 5.
В равнобедренных треугольниках углы у основания равны между собой (см. рисунок).
1. Дан равнобедренный треугольник ΔABG с равными сторонами АВ и AG (определение 20).
2. Продлим их на равные отрезки BZ и GH соответственно (общее понятие 2, предложение 2).
3. Соединим Z c G, а Н с В (постулат 1).
4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы <AZG и <АНВ равны, как и стороны ZG и НВ.
5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы <BGZ и <GBH тоже равны. Вычтем их из углов <АВН и <AGZ соответственно. Получившиеся углы (<ABG и <AGB) будут равны (общее понятие 3). Ч.Т.Д.
Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок).
1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение).
2. Необходимо доказать, что углы <AED и <СЕВ равны.
3. Суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА <AED дают по два прямых угла (книга I, предложение 13).
4. Следовательно, суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА <AED равны (постулат 4 и общее понятие 1).
5. Если мы вычтем из обеих пар угол <СЕА, оставшиеся углы <СЕВ и <AED будут равны (общее понятие 3). Ч.Т.Д.
Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.
Но иногда Евклид прибегает и к косвенному методу доведения до абсурда. Этот способ заключается в постулировании утверждения, обратного тому, которое требуется доказать, — здесь Евклид и читатель должны быть согласны друг с другом. Путем рассуждений мы приходим одновременно к некоему предложению и к его отрицанию, то есть к неприемлемому результату. Следовательно, исходное утверждение оказывается неверным, а обратное ему, которое и требовалось доказать, истинно. Здесь кроется логический принцип, который Евклид нигде не объясняет отдельно: из двух обратных друг другу утверждений — когда одно является отрицанием другого — одно обязательно будет верным, а другое ложным. Хотя Евклид и никогда не описывал метод доведения до абсурда, он часто прибегал к нему. Этот метод доказательства по своему существу можно считать аристотелевским; его с трудом можно вписать в анализ, скорее он лежит в области синтеза.