Страница 44 из 50
— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чём здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идёт по прямой, а карусель-то кружится?
— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движения у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа:
2i+Зi=5i;
8i−15i= −7i,
или вот еще ну и конечно:
5i−5i=0,
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре — арена, её под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах её укреплены таблички
Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички
На пересечении дорог, в центре арены, — Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на неё (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С неё легко соскочила Мнимая Единица с зелёным зонтиком. Вместо неё на круг против таблички
стала Мнимая Единица с жёлтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
— К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички
и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу. Возле таблички
она снова стала Мни
мой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой
и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке
Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.
— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?
— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы:
Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
— Подкоренной число, — ответил Олег.
— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
— То же самое происходит и с Мнимой Единицей:
— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица — превращается в мнимое?
— При этом Мнимая Единица, возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень:
А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i:
— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом
превращается в Действительную Единицу со знаком плюс
Она возводится в четвёртую степень:
А это можно представить себе и так:
−1 × −1 = +1.
— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остаётся выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
— Не может быть! i5 равно i?! — растерялись мы. — Как же так? Что же это такое?
— Да ничего особенного: i4=1.
Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i:
1·i=i.
— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвёртую степень? — удивился Олег.
— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17.
— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…
— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно i.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24. А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.
Долго ещё любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i три i, четыре i?
— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Нельзя же всё сразу…
— Всякому овощу своё время? — подмигнул Сева.
— Пожалуй, — улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили её и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу лопать себя по лбу.
— Извините, пожалуйста, — сказал он, обернувшись, — а зачем вообще нужны мнимые числа?
— Это вы поймёте, когда начнёте решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
— На что нужны уравнения с мнимыми ответами? — буркнул Сева.
— Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
— Но почему же тогда вас называют мнимыми?
— По привычке, — грустно ответила буковка i. — Так нас окрестил французский учёный Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.