Страница 23 из 65
Начну с того, что даже у примитивных народов есть система исчисления. Конечно, они не всегда умеют считать дальше четырех, но они знают, что если к двум предметам прибавить два точно таких же, в сумме получается четыре, — и так будет всегда. С этого фундаментального правила начинается построение многих числовых систем, как правило, существующих в письменном виде и основанных на одних и тех же принципах. Вавилоняне, майя и народ Индии, например, независимо друг от друга изобрели по существу одинаковый способ записи больших чисел в виде последовательности цифр, который мы активно используем в современной жизни.
Таким образом, нет ни места, ни времени, про которые я мог бы определенно заявить: «Арифметика появилась здесь и сейчас». В каждой культуре люди начинали считать и говорить одновременно, поэтому арифметика, как и язык, началась в доисторическое время. Но математика в нашем понимании, оперирующая цифрами, — совершенно иное дело. И чтобы отыскать корни этой легенды, я отправляюсь в морской поход к острову Самос.
В доисторические времена Самос был центром поклонения Гере — Царице Небесной, законной (и очень ревнивой) супруге Зевса. Сохранившийся до наших дней храм Геры, называемый иногда Гераионом, датируется VI веком до н. э., построил его тиран Поликрат. На этом же острове в 580 году до н. э. родился первый гений человечества и основатель греческой математики Пифагор. Из-за разногласий с Поликритом он вынужден был покинуть остров, но, по легенде, долго скрывался от гнева правителя в горах. Доверчивым туристам сегодня с удовольствием показывают маленькую белую пещеру, в которой якобы жил Пифагор.
Самос — волшебный остров, его воздух исполнен морем, зеленью и музыкой. Для меня Самос — остров Просперо из шекспировской «Бури», берег, где ученый стал волшебником. Вероятнее всего, Пифагор казался волшебником своим последователям, поскольку учил, что природой управляют числа. Он говорил, что в природе есть гармония, в основе разнообразия лежит единство, и у него есть язык: числа — это язык природы.
Пифагор нашел основное соотношение между музыкальной гармонией и математикой. История этого дошла до нас только легендой, как народная сказка, но суть его остается точной. Звук, или основной тон, образует вибрация одной натянутой струны. Звуки, которые звучат гармонично с ним, получаются, если разделить струну на равное количество частей: точно на две части, точно на три части, точно на четыре части и т. д. Если точка, где вибрация меньше всего, не попадает на одну из этих точек, звук дисгармоничен.
Таким образом, сдвигая «точку невибрации» по струне, мы распознаем звуки, которые гармоничны. Итак, прижатая на середине струна дает нам обертон, который на октаву выше основного тона. Переместившись еще на 1/3 длины струны, поднимитесь на квинту выше, еще на 1/4 — на кварту и одновременно отдалитесь на две октавы от основного тона. Поднимитесь еще на 1/5 (правда, Пифагор этого сделать не предлагал) — получите звучание терции.
Пифагор доказал, что аккорды, которые звучат гармонично — для западного уха, — соответствуют точному делению струны на целые числа. Пифагорейцам открытие показалось настоящим колдовством: настолько было удивительным и убедительным согласие между природой и числами. На базе обертоновой структуры звука они вместе пришли к выводу, что все законы природы строятся на этом же принципе.
«Слепой арфист». Египет, 1579–1293 годы до н. э.
Например, чтобы вычислить орбиты небесных тел, которые, по их мнению, вращались вокруг Земли, надо связать их с музыкальными интервалами. Иначе говоря, греки утверждали, что все закономерности природы музыкальны, а движения небесных тел они назвали музыкой сфер.
Эти идеи сделали Пифагора провидческой фигурой в философии, почти религиозным лидером, последователи которого образовали тайную секту, возможно, носившую революционный характер. Большинство пифагорейцев были рабами, поэтому их очень утешала доктрина о переселении душ, которая дарила им надежду на счастливую жизнь после смерти.
Я начал разговор с языка цифр, то есть с арифметики, затем перешел к геометрии, когда привел пример описания движения небесных тел. Переход был сделан не случайно. С точки зрения изучения форм мы следуем за природой, она дарит нам образы: кристалл, волна, овал, человеческое тело. Для описания пропорций мы опять же обращаемся к языку чисел. Пионером в этой области был гениальный Пифагор, так что, следуя его логике, я выбрал те математические дисциплины, основы которых он заложил.
Пифагор доказал, что мир звуков подчиняется последовательности целых простых чисел. Он доказывал, что и визуальный мир подчиняется тому же математическому принципу. Это заявление было поразительным! Я смотрю на чудесный красочный пейзаж Греции, на великолепие ее диких природных форм, орфических лощин и бескрайнего моря. Я спрашиваю себя: как за этой дикой красотой хаоса можно увидеть строгую числовую структуру?
Поиск ответа на мой вопрос заставляет вернуться к проблеме исходных констант, отобранных в соответствии с нашим восприятием природных законов, иначе говоря, мы должны определиться с набором эмпирических универсалий. Окружающий мир базируется на двух принципах: вертикали (силе тяжести) и линии горизонта, расположенной к ней под прямым углом. Можно свободно передвигать значения горизонтали или вертикали, не опасаясь, что пропадет прямой угол, который формируют эти две оси. Более того, я могу повернуть угол вокруг каждой из линий, все равно через четыре поворота я вернусь к прямому углу, образованному вектором силы тяжести и линией горизонта.
В визуальном плане, в вертикальной картинке, которую видит наш глаз, прямой угол определяется четырехкратным поворотом. Такое же правило действует для горизонтального мира, в котором мы передвигаемся. Представьте себе плоский мир, нанесенный на карту и сориентированный по компасу. Вот я смотрю через пролив с острова Самос на Малую Азию, прямо на юг. Я использую плашку в виде прямоугольного треугольника как указатель и направлю его вершину на юг, чтобы иметь возможность сделать четыре поворота вокруг оси. Каждый раз я буду поворачивать указатель на 90°, чтобы получить после первого поворота направление на запад, после второго — на север, после третьего — на восток, после четвертого — снова на юг. То есть, совершив оборот на 360°, вершина треугольника вновь будет указывать на Малую Азию, откуда я начал движение.
По этому принципу создан не только окружающий нас мир природы, его соблюдают все строители от доисторических времен до наших дней: вавилоняне учитывали его, когда обустраивали висячие сады, египтяне закладывали его в основу проектов, которые создавали до возведения пирамид. То есть уже в древних культурах на практическом уровне было знание, что есть плотничий (прямоугольный) треугольник, в котором правят соотношения между числами. Вавилонские строители, вероятнее всего, уже с 2000 года до н. э. знали множество формул, индейцы и египтяне — несколько меньше. Египтяне, как кажется, почти всегда использовали треугольник с соотношениями сторон 3:4:5. Однако только в 550 году до н. э. Пифагор перевел это знание из мира эмпирики в мир того, что сегодня мы называем доказательством. То есть он задал вопрос: «Каким образом цифры, образующие этот плотничий треугольник, следуют из того факта, что прямой угол — это то, что можно повернуть четыре раза так, чтобы он указал в ту же сторону?»
Доказательство Пифагора, должно быть, выглядело следующим образом (оно заметно отличается от того, которое приведено в современных школьных учебниках). Четыре высшие точки — юг, запад, север, восток — треугольников, которые образуют крест компаса, — это углы квадрата. Я сдвигаю четыре треугольника таким образом, чтобы длинная сторона каждого заканчивалась на высшей точке соседнего. Теперь я построил квадрат по самой длинной стороне прямоугольных треугольников — по гипотенузе. Чтобы понять, что является частью замкнутой области, а что нет, я заполню маленький внутренний квадрат дополнительной плиткой. (Я использую плитки, поскольку многие узоры в Древнем Риме и на Востоке основаны на этом типе связи между математическим соотношением и размышлениями о природе.)