Страница 6 из 17
Движение в главном поле
Траектории небесных тел сложны и запутаны. Чтобы в них разобраться, поступим согласно канонам теории возмущений. Именно, выделим главные силы, действующие на систему и пренебрежем всеми остальными. Полученную упрощенную систему назовем невозмущенной. Решим ее. А уже потом добавим другие, малые силы. А малое воздействие, — как принято говорить, малое возмущение, — учесть значительно легче (об этом позже).
Массы планет значительно меньше массы дневного светила. Юпитер в тысячу раз легче Солнца, Сатурн в три раза легче Юпитера, Земля в сто раз легче Сатурна… Поэтому в первом приближении можно считать, что на каждую из планет действует только притяжение Солнца.
Еще более идеализируем задачу, предполагая планету материальной частицей пренебрежимо малой массы. Но Солнце считать «частицей» нельзя, оно имеет внушительные видимые размеры. Примем, что Солнце — идеальный шар, плотность которого зависит лишь от расстояния до его центра. Как доказал И. Ньютон, шар притягивает внешние частицы как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. Мы пришли к модельной задаче одного притягивающего центра. Каковы траектории частицы в поле притяжения массивной центральной точки S? Как показал Ньютон, возможны четыре типа орбит:
1. Луч или отрезок, лежащие на прямой L, проходящей через центральное тело S. Этот случай имеет место, если начальная скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону. Это свойство сохраняется во все время движения, что лишний раз подчеркивает условность термина «начальная». Остальные три типа орбит — плоские кривые, не содержащие прямолинейных участков.
2. Эллипс (рис.2). Центральное тело S, как ни странно это звучит, находится не в центре эллипса, а в одном из двух его фокусов. Отличие эллипса от окружности измеряется эксцентриситетом е — отношением расстояния между фокусами к длине большой оси. Эксцентриситет окружности равен нулю. Эллипс тем более вытянут, чем ближе е к единице.
Рис.2
3. Парабола (рис.3). По параболе частица уходит в бесконечность. Скорость частицы уменьшается, неограниченно приближаясь к нулю. Фигурально выражаясь, частица уходит в бесконечность и останавливается там.
Рис.3.
4. Гипербола (рис.4). По гиперболе частица уходит в бесконечность, приближаясь к некоторой прямой, асимптоте. Скорость частицы приближается к некоторой положительной величине υ∞— скорости на бесконечности, оставаясь все время больше нее.
Рис.4.
По какой из трех кривых будет двигаться частица зависит от полной механической энергии Е единицы массы, включающей в себя кинетическую Ек и гравитационную потенциальную Ер. Поскольку трения нет, то Е сохраняется во все время движения. Оказывается, частица движется по эллипсу, если Е<0; по параболе, если Е=0; по гиперболе, если Е>0. Напомню, что потенциальная энергия имеет смысл с точностью до постоянного слагаемого. В физике и астрономии это слагаемое принято фиксировать условием Ер=0, когда частица находится бесконечно далеко от S.
При таком соглашении
Ек=υ2/2 и Ер=—К2/r, (4)
где К =√GM, а М — масса S. Если расстояния измерять в километрах, время — в секундах, то К=364305, если S — Солнце; К = 631,35, если S — Земля. На практике часто вместо Е используют более наглядную величину — скорость υ=√2Ек. Критическому значению Е=0 отвечает вторая космическая скорость υII (называемая также скоростью убегания или параболической скоростью). Понятно, что υII — не число, а зависящая от расстояния до S величина: скажем, для спутника Земли υII=11 км/с вблизи поверхности планеты, но υII=1,5 км/с у орбиты Луны. Полезно знать, что первая космическая (круговая) скорость υI и параболическая скорость υII различаются только множителем √2: υII=υI√2≈1,41υI
Между круговой и параболической скоростями есть принципиальная разница. Чтобы двигаться по окружности, круговую скорость следует направить перпендикулярно радиусу-вектору, соединяющему центральное тело и частицу. Чтобы уйти на бесконечность, достаточно развить параболическую скорость; при этом ее направление безразлично, лишь бы избежать столкновения с S.
За исключением специального случая (когда скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону) орбиты оказались кривыми линиями. К тому же, движение по орбитам неравномерно. Самая большая скорость — в перицентре (ближайшей к S точке орбиты), и чем дальше от перицентра, тем она меньше. Наименьшая скорость в случае эллипса — в апоцентре (наиболее удаленной от S точке орбиты).
Дадим количественные соотношения. Расстояние rр от S до перицентра выражается через большую полуось а (среднее расстояние от движущегося тела до S) и эксцентриситет е по формуле rp=а(1—е). Расстояние rа от S до апоцентра rа=а(1+е). Скорости в экстремальных точках (апсидах) эллипса составляют:
υp=υI(a)√(1+e)/√(1—e) и υa=υI(a)√(1—e)/√(1+e)
Здесь υI(a) — круговая скорость на расстоянии от a до S. В свою очередь υI убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до S: υI=K/√r.
Между большой полуосью и периодом обращения существует связь, открытая еще И. Кеплером в начале XVII в.:
Р = 2π(а3/2/K) (5)
Разумеется, выражение постоянной К через G и М — заслуга Ньютона.
Если эллипс близок к окружности, различие скоростей в разных точках орбиты невелико. У Земли в ее движении вокруг Солнца е=0,016, υp=31км/с, υa=29км/с. У кометы Галлея эллипс очень вытянут: е=0,96; так что υp=51км/с, υa=1км/с. Такой характер ускорений и замедлений на орбите понять легко, если воспользоваться аналогией с вращением грузика на стержне вокруг горизонтальной оси. Внизу скорость наибольшая, наверху — наименьшая. В нашей задаче «вниз» — это направление к притягивающему центру, «вверх» — прочь от него. Причина изменений скорости и для планеты, и для маятника одна: закон сохранения энергии. «Наверху» потенциальная энергия гравитации максимальна, «внизу» — минимальна. Для кинетической энергии соотношение противоположно.
Набор орбит оказался небольшим. В век космонавтики мы можем выбирать высоту или период обращения искусственных небесных тел в широких пределах, но в силу (5) по отдельности, а не вместе. Наименьший период обращения ИСЗ — полтора часа — соответствует круговой орбите минимальной высоты. Максимального периода теоретически нет, но подавляющее большинство ИСЗ имеют период не более 24 час.
Притяжение и форма небесных тел
Многие искусственные спутники Земли (ИСЗ) летают низко, почти царапая Землю: в масштабе школьного глобуса (1:50000000) не далее сантиметра от него. Тут уж даже Землю шаром считать нельзя, хоть на глазок это и незаметно. А вот Юпитер и особенно Сатурн обладают отчетливо видимым сжатием. Одним словом, чтобы идти дальше, надо разобраться с формой небесных тел и их притяжением.