Страница 2 из 17
Высшая духовная Сущность на вопрос оператора «Абсолютны ли пространство и время?» ответила: «Абсолютности в этих понятиях нет. Эти понятия искусственны, так как они выдуманы человеком».
Таким образом, путы, сковывавшие геометрию со времен Евклида, первым разорвал Н. И. Лобачевский.
Величайшим научным подвигом Николая Лобачевского считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826 года, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Лобачевский не побоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» – квинтэссенции повседневного опыта. И поплатился за это. Современники его не поняли и не приняли его научные идеи.
Декан физико-математического факультета (а с 1827 года – и ректор Казанского университета), прекрасный преподаватель и великий ученый, он много сделал для развития университета. Однако новое начальство лишило его кафедры и профессорского звания, и некоторое время свои обязанности ректора Казанского университета Лобачевский продолжал исполнять, не получая никакого вознаграждения. Как сказали бы в советские времена, «работал на общественных началах». Его не стало 12 февраля 1856 года, ровно через тридцать лет после памятного дня, когда родилась геометрия Лобачевского. И за все тридцать лет ему не повезло встретить единомышленника, разделившего бы с ним взгляды на пространство!
Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем нет места пятому постулату Евклида [3].
На вопрос оператора «Трехмерен ли мир?» Высшая духовная Сущность ответила: «Мир многомерен. Понятие трех изменений – это представление людей. Вспомним голографию. Возьмем любой предмет, хотя бы куб, и представим его голограмму, но не со стороны, а как бы войдя внутрь ее». А на вопрос «Как можно представить четвертое и пятое измерения?» был получен ответ: «Возьмите матрешку, посмотрите на нее со стороны верхнего слоя, а затем представьте первый слой прозрачным и т. д. Но это взгляд с одного ракурса. То же можно сделать и со стороны верхней части, и со стороны донца».
Геометрия Римана
Бернхард Риман родился в 1826 году, как раз в тот год, когда Лобачевский в Казани обнародовал свою геометрию. Кстати, Ньютон родился в год смерти Галилея. А Эйнштейн – в год смерти Максвелла.
Риман, который, как оказалось, не был знаком с трудами Лобачевского, создал огромный, неизвестный ранее человечеству мир математических пространств, или, по его терминологии, многократно протяженных многообразий, и каждое из них должно было обладать своей собственной геометрией.
Потребовалось установить строение каждого пространства, то есть найти геометрию, ему присущую, научиться строить в нем фигуры и измерять их, иными словами, требовалось установить метрику. Риман предложил общий универсальный принцип: метрические отношения следует искать и фиксировать в бесконечно малой области пространства. Проще говоря, пространство надо мерить бесконечно малыми шагами. Именно в бесконечно малой области действуют более простые законы и более явственно обнажается суть явления и его особенности, характерные для данного момента времени и данной точки пространства [4].
Риман был убежден, что для всех явлений природы, в том числе и для тяготения, взаимодействие на больших расстояниях должно быть следствием микровзаимодействий, то есть процессов, протекающих в соседних бесконечно малых элементах пространства.
Точно суть работы Римана выразил советский геометр Каган, сказав: «Риман расщепил пространство на бесконечно малые элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента разворачивается метрика всего пространства».
Выиграв в широте охвата, в общности подхода, Риман проиграл в содержании – им даны основные идеи, но детальной их проработки нет. У Лобачевского было наоборот. Он оставил нам глубокую и детальную проработку своей геометрии.
Позднее Риман решил «спуститься» к некоторым конкретным геометриям – наиболее простым, хотя на примере Лобачевского мы знаем, что простота может быть весьма относительной. Из всего этого многообразия Риман выделил простейшие многообразия – с постоянной кривизной.
Самый простой случай – когда кривизна всюду равна нулю. В одном измерении – это прямая линия, в двух – плоскость, в трех – евклидово пространство. Но кривизна может быть отличной от нуля, хотя и постоянна.
Раз кривизна постоянна, она, естественно, может быть нулевой, постоянно отрицательной и постоянно положительной.
В первом случае речь идет о пространстве Евклида, во втором – о пространстве Лобачевского, а в третьем случае при одинаково положительной кривизне – о пространстве Римана.
Причем третья постоянная положительная кривизна – это полная собственность Римана. Поэтому геометрия пространства с такой кривизной называется геометрией Римана.
В известном смысле мы достаточно часто сталкиваемся с постоянной положительной кривизной, правда, с кривизной поверхности, а не пространства. Любые шары есть поверхности постоянной положительной кривизны. Тем не менее, нам трудно вообразить себе сферическое пространство. Мир Евклида, трехмерное пространство нулевой кривизны, входит в нас при рождении.
Чтобы познакомиться с пространством Римана (с пространством постоянно положительной кривизны), возьмем в руки глобус, но отвлечемся от физической географии планеты, оставив только сетку меридианов и параллелей. Сфера – это пространство с постоянной положительной кривизной. Что представляет собой прямая линия на сфере? Если понимать прямую линию как линию нулевой кривизны, то на сфере прямых нет; любая изогнута, любая имеет кривизну. Но если прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками, то дело обстоит иначе. На сфере прямая – это часть дуги.
Следовательно, все меридианы – это прямые на сфере. И экватор тоже. Параллели определению прямых не отвечают, ибо длина их дуг больше кратчайшего расстояния между двумя точками, то есть между концами этих же дуг.
Сферическое пространство, или пространство постоянной положительной кривизны, замкнуто и конечно (от слова «конец»), также как замкнут и конечен шар. Таким же свойством обладает и другое пространство положительной кривизны – эллиптическое. (Как окружность есть частный и предельный случай эллипса, так и шар есть частный и предельный случай эллипсоида. Поэтому эллиптическая поверхность, а равно и эллиптическое пространство, есть обобщение сферических поверхности и пространства.)
Замкнутость и конечность пространства Римана нанесли удар по укоренившимся представлениям о бесконечности пространства.
Риман понял, что слова «безграничность» и «бесконечность» имеют разный смысл. Безграничность – значит без границ! А бесконечность – это то, что простирается без конца. Это расстояние, которое хотя и измеряемо, но в принципе не может быть измерено до конца, потому что конца просто нет.
Он утверждал: «При рассмотрении пространственных построений в направлении неизмеримо большого, следует различать свойства ограниченности и бесконечности – первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство»[4].
Чрезвычайно важен физический смысл, но еще более важен философский смысл этого открытия. Ведь философы были убеждены, что бесконечность и безграничность – синонимы.
Риман говорил: «То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие[3], является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства: напротив, если припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной» [4].
3
Под трижды протяженным многообразием имеется в виду трехмерное пространство.