Страница 10 из 10
Задача 5.5. Верно ли высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать»?
Ответ. Да.
Обсуждение. На первый взгляд, сказана двойная глупость. Ни допрыгнуть до Луны, ни дышать на ней ни один человек не сможет. То есть и высказывание А (человек может допрыгнуть до Луны), и высказывание Б (человек сможет дышать на Луне) ложны. Но поскольку условие А ложно, высказывание А ⇒ Б истинно независимо от истинности заключения Б. Если вам все же трудно поверить в истинность высказывания «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать», то подумайте, кто мог бы его опровергнуть. Только человек, допрыгнувший до Луны!
Комментарий 1 (исторический). В некотором смысле такой человек был. Перед тем, как 20 июля 1969 года сделать шаг с трапа на поверхность Луны, американский астронавт Нил Армстронг сказал: «Это маленький шаг для человека, но огромный прыжок для человечества». Но даже если считать достижение Армстронга прыжком с Земли, наше утверждение он, к счастью, не опроверг и благополучно вернулся домой.
Комментарий 2 (математический). С подобной ситуацией мы уже сталкивались на первом занятии при обсуждении живых тираннозавров, вышивающих крестиком. Аналогия не случайна: высказывания про всех и следствия могут быть переделаны друг в друга.
Задача 5.6. 1) Сформулируйте высказывание, начинающееся со слова «все», имеющее тот же смысл, что высказывание «Если человек допрыгнет с Земли до Луны, то он сможет там дышать».
2) Сформулируйте высказывание с союзом «если… то», имеющее тот же смысл, что высказывание «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком».
Ответ. 1) Все люди, допрыгнувшие до Луны, смогут там дышать. 2) Если тираннозавр дожил до наших дней, то он умеет вышивать крестиком.
Комментарий. Теперь ясно, что истинность обоих высказываний – и про тираннозавров, и про допрыгнувших до Луны – можно доказать двумя способами. Во-первых, для элементов пустого множества верно любое утверждение, так как контрпримера заведомо нет. Во-вторых, из ложного условия можно делать какое угодно заключение.
Сказанное в обсуждении задачи 5.5 можно обобщить: из ложного утверждения следует ЛЮБОЕ другое утверждение, в том числе и ложное. Другими словами, допустив одну ложь, пусть даже «самую маленькую», можно логически доказать что угодно! В это трудно поверить. Узнав об этом от Бертрана Рассела, один философ был потрясен и спросил: «Вы всерьез считаете, что из неверного утверждения „Два плюс два – пять“ следует, что вы – Папа Римский?» Рассел в ответ привел такое доказательство: «Пусть 2 + 2 = 5. Известно также, что 2 + 2 = 4. Следовательно, 4 = 5. Вычитая 3, получаем, что 1 = 2. Я и Папа Римский – два человека. Следовательно, я и он – это один человек».
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.7. 1) Верно ли, что если Женя – Борин брат, то Боря – Женин брат?
2) Составьте обратное высказывание. Верно ли оно?
Задача 5.8. На планете Плюк действует правило: увидев чатланина, житель планеты должен сказать «Ку». В суд поступили дела пяти обвиняемых в нарушении этого правила:
1) Первый сказал «Ку» облезлой кошке.
2) Землянин Второй ничего не сказал при встрече с главным чатланином.
3) Часовой Третий спал на посту, не заметил подошедшего чатланина и ничего ему не сказал.
4) Четвертый сказал чатланину: «Ку. Как противно приветствовать такого мерзавца!»
5) Пятый не знал, что Шестой – чатланин, поэтому при встрече сказал ему: «Здравствуйте, уважаемый!»
Кто, с вашей точки зрения, нарушил данное правило, а кто нет?
Задача 5.9. Пусть на клетчатой бумаге нарисован многоугольник, составленный из целых клеточек. Рассмотрим два утверждения:
1) Если многоугольник можно разрезать на доминошки (прямоугольники 1 х 2), то количество клеточек четно.
2) Если количество клеточек четно, то многоугольник можно разрезать на доминошки.
Верны ли эти утверждения? Можно ли их доказать (опровергнуть) с помощью примера (контрпримера)?
Задача 5.10. Говорят, что если человек сорвет цветок папоротника, то станет понимать язык животных. Правду ли говорят?
Задача 5.11. Из утверждений «Число а делится на 2», «Число а делится на 4», «Число а делится на 12» и «Число а делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое? Найдите три таких числа а.
Задача 5.12. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Известно, что на одной стороне каждой карточки написана буква, на другой – натуральное число. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой – гласная буква»?
Задача 5.13. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик верно ответил:
(1) «если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя»;
(2) «если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»;
(3) «если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра».
Определите погоду на завтра.
Задача 5.14*. Прочитайте отрывок из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» в переводе Бориса За-ходера. Алиса путает высказывания «А ⇒ Б» и «Б ⇒ А», а ее собеседники поясняют, почему это не одно и то же. Все ли их примеры удачны?
«– Так бы и сказала! – укоризненно сказал Заяц. – Надо говорить то, что думаешь!
– Я всегда так и делаю! – выпалила Алиса, а потом, чуточку подумав, честно прибавила: – Ну, во всяком случае… во всяком случае, что я говорю, то и думаю. В общем, это ведь одно и то же!
– Ничего себе! – сказал Шляпа. – Ты бы еще сказала: „я вижу все, что ем“, и „я ем все, что вижу“ – это тоже одно и то же!
– Ты бы еще сказала, – подхватил Заяц, – „я учу то, чего не знаю“ и „я знаю то, чего не учу“ – это тоже одно и то же!
– Ты бы еще сказала, – неожиданно откликнулась Соня, не открывая глаз, – „я дышу, когда сплю“ и „я сплю, когда дышу“ – это тоже одно и то же…»
Занятие 6
«…И чушь прекрасную несли», или Как рассуждать логично, не вдумываясь в смысл высказываний
На одну здравую пару посылок… встретившуюся вам при чтении газеты или журнала, приходится по крайней мере пять пар, из которых вообще нельзя вывести никаких заключений. Кроме того, даже исходя из здравых посылок, автор приходит к правильному заключению лишь в одном случае, в десяти же он выводит из правильных посылок неверное заключение.
Логические задачи для начинающих фактически являются задачами на здравый смысл, при их решении законы формальной логики и бытовая логика работают одинаково. На следующем уровне становится интересно решать задачи, само условие которых абсурдно, и рассуждения об истинности составных высказываний не могут опираться на истинность или ложность составляющих их простых высказываний. Богатая коллекция таких задач, развивающих умение работать с общими и частными высказываниями, содержится в книге Льюиса Кэрролла «Логическая игра». Как пишет Ю. Данилов в предисловии к этой книге, «не велика хитрость идти по видимым ориентирам – выводить правильное заключение из суждений, не противоречащих здравому смыслу. В этом случае правильный ответ можно получить, даже если рассуждать неверно: выручит интуиция, опыт…Если рассуждение противоречит здравому смыслу… мы уподобляемся мореходу, ведущему свое судно вдали от берега по счислению».
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «ЛитРес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.