Страница 101 из 111
Хозяин, улыбаясь, принимает у черта пустую чашку. Но что это? Рисунок на ней опять изменился! Теперь там изображены они сами - Фило, Мате и Асмодей в своем маркизовом обличье, восседающие на крыше руанской судебной палаты.
Улыбка медленно сползает с круглой физиономии Фило. Неужели его заставят копаться в теореме Дезарга? К счастью, эта неприятная для него операция переносится на другое время. Зато разговор о своей собственной теореме Мате откладывать не намерен. И многострадальный филолог покоряется своей участи.
- Итак, - говорит Мате, - напоминаю суть теоремы. Если на сторонах произвольного треугольника построить снаружи или внутри (значения не имеет) по равностороннему треугольнику и соединить прямыми их центры тяжести, то полученный таким образом новый треугольник тоже будет равносторонним.
- Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, капризно замечает Фило.
- Совершенно верно. Какого рода доказательство вы желаете получить? Общее или частное - на числовом примере?
- Достаточно будет и частного!
- Понятно, - ядовито кивает Мате. - Тогда к общему виду потрудитесь привести его самостоятельно. А теперь вычертим произвольный треугольник и выберем систему координат с началом в одной из вершин треугольника. Скажем, в точке О. Ось иксов направим вдоль стороны ОВ. - Говоря это, Мате набрасывает чертеж в своем неизменном блокноте. - Как видите, координаты вершины О - нуль, нуль; вершины А - четыре, пять; вершины В - девять, нуль. Теперь нетрудно вычислить и размеры сторон треугольника.
-По известной формуле, - сейчас же соображает Асмодей. - Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат этих точек, иначе говоря
d2 =(X1- Х2)2 + (У1 - У2)2.
- Очень хорошо. Подставим в эту формулу координаты соответствующих вершин треугольника. Тогда:
ОA2 = 42+52 = 41, а ОА = ; OВ2 = 81, а OВ = 9 и
АВ2 = (9- 4)2 + 52 = 50, а АВ = .
Ну, а теперь построим на сторонах нашего треугольника новые треугольники, на сей раз равносторонние. Намечаю их пунктиром. Буквами n, m и р обозначим точки пересечения медиан в каждом из них. Это и будут их центры тяжести. Точки эти, как известно, находятся на расстоянии двух третей медианы, считая от вершины. В первом равностороннем треугольнике это Am = От. Во втором - An = Вп. В третьем - Вр = Ор. Но так как в равностороннем треугольнике медианы являются в то же время и высотами, а высота в этом случае равна половине стороны, умноженной на , то
Am = mO = 2/3АО = АО
An = Вn = АB и
Вр=Ор=OB .
Иначе:
(Ат)2= (mO)2 = (AO)2/3 = 41/3, (An)2 = (Вn)2 = AB2/3 = 50/3;
(Вр)2 = (Ор)2 = OB2/3 = 27.
Мате на мгновение отрывается от чертежа и, убедившись, что Фило еще жив, продолжает:
- Далее обозначим искомые координаты центров тяжести равносторонних треугольников. Точки m: х1, у1; точки n: x2, у2; точки р: х3, у3. Займемся сперва одним треугольником и по известной уже нам формуле о квадрате расстояния между двумя точками вычислим, что
(Am)2 = (Оm)2 =(x1-4)2+(y1-5)2=x12+y12=41/3.
Решая систему двух уравнений:
(x1- 4)2 + (y1- 5)2 = x12 + y12 и x12 + y12 = 41/3, найдем, что
x1 = 2 +- 5/6; y1 = 2,5 +- 2/3.
- А как это у вас получилось? - неожиданно для себя самого интересуется Фило.
- По-моему, это понятно всякому школьнику, - сердито отвечает Мате.
- Допустим. А как же быть с двумя знаками перед вторыми слагаемыми? Какой из них выбрать?
- Ну, а это уж где как. Обратите внимание на то, что первые слагаемые (2 и 2,5) - это координаты середины стороны ОА. В самом деле:
(O+4)/2 = 2 и (O+5)/2=2,5
А точка т лежит слева от этой середины, но выше ее. Следовательно, в первом равенстве (x1) надо сохранить знак минус, а во втором (у1) - знак плюс. Поэтому окончательно:
x1 = 2- 5/6, у1 = 2,5 + 2/3.
Точно таким же образом найдем координаты точек n и р:
x2 = 6,5 + 5/6, y2= 2,5+5/6; xЗ = 4,5, y3 = -2/3.
Остается вычислить расстояния между т и п, п и р, р и т. Обозначим их буквой d с соответствующими индексами: тп, пр и рт. Тогда:
Если теперь вычислить и , окажется, что все три результата одинаковы:
Ну, а раз равны квадраты расстояний, то равны и сами расстояния. Стало быть, соединив точки m, n и р, мы получим равносторонний треугольник.
- Квод демонстрандум эрат! Что и требовалось доказать, - торжественно заключает Асмодей.
- Не забудьте рассмотреть еще два частных случая первоначального треугольника, - суетливо напоминает Мате. - Когда сумма двух сторон равна третьей и когда одна из сторон равна нулю. - Он протягивает Фило и Асмодею заранее заготовленные чертежики. - Как видите, моя теорема справедлива также и для них.
- Благодарю вас, мсье! Поверьте, мне было чрезвычайно интересно! Поздравляю с удачей! - рассыпается бес, но вдруг совершенно неожиданно зевает и страшно смущается. - Пардон, мсье! Не подумайте, что это от вашей теоремы. Всему виной чай. Он всегда действует на меня, как снотворное. С вашего разрешения я вздремну немножко...
Он взлетает на верхнюю полку и скрывается в книге Лесажа, с силой захлопнув за собой картонную обложку. В ту же минуту оттуда начинает исходить легкое блаженное похрапывание: "Хрр-фью... хрр-фью..."
Филоматики растроганно переглядываются.
- Перерыв?
- Перерыв!
ВЕЧЕР ЧАЙНОГО ДНЯ
- Открываем наше вечернее заседание, - объявляет Фило, когда все они снова сидят за столом и Асмодей кулачком протирает заспанные глаза. - Что у нас на повестке... пардон, на чашке дня?
Бес молча указывает на рисунок, где три блистательных кавалера и одна изысканная дама играют в карты.
- Эпизод под названием "В великосветском салоне", - определяет Фило.
Все еще позевывая, Асмодей заглавие одобряет, считает, однако, необходимым добавить, что к этому эпизоду примыкает еще один: "Встреча на улице Сен-Мишель", связанный с ним общей темой "Теория вероятностей". Кроме того, прежде чем перейти к обсуждению, не мешает установить дату...
Мате уверенно объявляет, что разговор за карточным столом мог быть только зимой 1654 года.
- Почем вы знаете? - любопытствует Фило.
- Да потому что речь, если помните, шла о переезде Паскаля и герцога Роанне в Пор-Рояль. Отсюда следует, что интересующий нас эпизод происходил уже после обращения Паскаля, которое, как я выяснил, относится к 23 ноября 1654 года. И судя по тому, что маркиза об этом узнать не успела, разговор ее с де Мере отстоит не слишком далеко от указанной даты. Он мог состояться в конце ноября или в начале декабря.