Страница 16 из 23
За несколько веков после написания этого стихотворения возникла еще одна новация: представление звуков, из которых составлено слово, а не предмета, которое слово обозначает. Этот метод радикально изменил природу письма: символами теперь обозначали слоги, а не понятия. Он логично вытекал из старой шумерской уловки замены части слова на другое слово, имеющее самостоятельный смысл. Нам неизвестно доподлинно, как и когда именно произошел этот прорыв, но можно уверенно говорить, что развитие более экономного способа записи было связано с процветанием междугородней торговли, поскольку ведение торговой переписки и деловых записей пиктограммами наверняка получалось громоздким. Вот так к 1200 году до н. э. возникло финикийское письмо[96] – первый великий алфавит в истории человечества. Прежде требовалось запоминать сотни затейливых символов, а теперь довольно было всего нескольких десятков простейших значков, применяемых в разных сочетаниях. Финикийский алфавит позднее, возможно, заимствовали и приспособили арамейский, персидский, арабский языки и иврит, а около 800 года до н. э. – греческий. Из Греции же он постепенно распространился по всей Европе[97].
Первым городам нужна была, помимо чтения и письма, еще и определенная развитость математики. Я всегда считал, что математика занимает в человеческом сердце особое место. «Ага, – возможно, думаете вы, – как холестерин». Что правда, то правда, есть у математики ее хулители – и были всегда. Еще в 415 году н. э. Святой Августин писал: «Существует… опасность, что математики заключили сделку с дьяволом, чтобы смутить дух человека и предать его аду»[98]. Бесили его, видимо, астрологи и нумерологи – в его времена именно они в основном и практиковали темное искусство математики. Но, думаю, слыхал я примерно то же самое – и не раз – и от своих детей, может, не столь высокопарно. И все же, нравится это нам или нет, математика и логическое мышление представляют важную часть человеческого устройства.
За века ее существования математику применяли очень по-разному: математика как наука в нашем современном определении не столько отдельная область знания, сколько подход к постижению – метод рассуждения, в котором необходимо тщательно формулировать понятия и допущения и приходить к выводам, применяя строгую логику. То же, что обычно называют «первой математикой», не есть математика в этом смысле, в той же мере, в какой шумерское ведение дел – не письмо в шекспировском смысле.
Руины древнего Вавилона, вид из бывшей летней резиденции Саддама Хусейна
Древняя математика подобна той, какой маются мои дети и другие ученики, штудируя ее в начальной школе: набор правил, которые можно более или менее бездумно применять к решению определенных задач. В первых городах Месопотамии[99] эти задачи в основном относились к отслеживанию денег, материалов и трудовых ресурсов, к арифметике мер и весов, а также к расчетам простых и сложных процентов – все тем же будничным хлопотам, какие подтолкнули развитие письма, и столь же неотъемлемым от жизни городского общества.
Арифметика, возможно, – наиболее влиятельная ветвь математики. Даже первобытные народы применяют некую систему вычислений, хотя могут и не уметь считать дальше пятого пальца на руке. Малыши тоже, судя по всему, рождаются со способностью определять число предметов в наборе, хотя лишь в пределах четырех[100]. Однако чтобы превзойти простой счет, которым мы овладеваем почти сразу по выходу из материнской утробы, необходимо освоить сложение, вычитание, умножение и деление – навыки, развиваемые человеком все раннее детство.
Первые городские цивилизации разработали формальные и зачастую непростые правила и методы арифметических расчетов, а также изобрели способы решения уравнений с неизвестными величинами – эти задачи мы ныне решаем при помощи алгебры. По сравнению с современной алгеброй та, древняя, была в лучшем случае зачаточной, однако людям той эпохи удалось найти, скажем так, рецепты – чуть ли не сотни рецептов – производить сложные вычисления, сопряженные с решением квадратных и кубических уравнений. И они превзошли простые деловые задачи и стали применять эти методики к задачам инженерным. Прежде чем копать канаву, например, инженер из Вавилона, области на юге Месопотамии, рассчитывал необходимое количество рабочих рук, вычисляя объем земли, который предстоит извлечь, и деля его на количество земли, которое в состоянии выбрать один землекоп в течение дня. А перед тем как браться за строительство, вавилонский инженер проделывал аналогичные вычисления, чтобы определить требуемое количество труда и кирпичей.
Невзирая на эти достижения, в одном важном практическом аспекте месопотамские математики недотягивали. Применение математики – искусство, а средство этого искусства – язык символов. В отличие от обычного языка, символы и уравнения математики выражают не просто понятия, а отношения между ними. И потому невоспетый герой математики – математическая запись. Хорошая запись делает отношения между понятиями точными и явными, она упрощает человеческому уму задачу размышления о них; плохая запись сообщает логическому анализу неэффективность и неудобство. Вавилонская математика – из второй категории: все ее рецепты и расчеты записывались обычным бытовым языком того времени.
Одна вавилонская табличка, например, содержала следующий расчет: «Четыре есть длина и пять есть диагональ. Какова ширина? Размер ее неведом.
Четыре раза по четыре есть шестнадцать. Пять раз по пять есть двадцать пять. Вынимаем шестнадцать из двадцати пяти, остается девять. Сколько раз мне взять, чтобы получилось девять? Три раза по три есть девять. Три есть ширина». В современной записи это выглядело бы так: x2 + 42 = 52; x = √ (52 – 42) = V (25 – 16) = √9 = 3. Большой недостаток математической задачи, приведенной на табличке, не только в ее громоздкости, а еще и в том, что мы не можем применять алгебраические правила и производить действия в уравнении, записанном прозой.
Рождения математической записи не произошло вплоть до классической эпохи индийской математики, начавшейся около 500 года н. э. Достижения индийских математиков переоценить трудно. Они применяли десятеричную систему, ввели понятие нуля как числа и описали его свойства: умножение любого числа на нуль дает нуль, сложение нуля с любым числом оставляет число без изменений. Они также предложили отрицательные числа – чтобы представлять задолженности, хотя, как отмечал один математик того времени, их «люди не одобряют». Но самое главное – они применили символы для обозначения неизвестных величин. Однако первые арифметические сокращения[101] – «p» для обозначения «плюса» и «m» для обозначения минуса – в Европе появились лишь в XV веке, а знак равенства изобрели только в 1557 году, когда Роберт Рекорд из Оксфорда и Кембриджа выбрал символ, которым мы доныне пользуемся, поскольку считал, что нет более похожих предметов, нежели две параллельные прямые (а еще потому, что параллельные прямые уже применялись в типографских украшениях текста, и печатникам не нужно было отливать новую форму).
Я сосредоточился на числах, однако мыслители первых городов мира многого добились и в математике форм – не только в Месопотамии, но и в Египте. В тех краях источником жизни был Нил, ежегодно затоплявший свою пойму на четыре месяца, покрывая почвы плодородным илом, однако внося неразбериху в границы владений. Каждый год после затопления полей[102] официальным лицам приходилось заново определять границы земледельческих угодий и их площади – исходя из этих данных высчитывались налоги. Тут дела нешуточные, и египтяне разработали точную, хоть и довольно громоздкую систему расчетов площадей квадратов, прямоугольников, трапеций и кругов, а также объемов кубов, параллелепипедов, цилиндров и других фигур, имевших отношение к хранению зерна. Понятие «геометрия» происходит от той землемерной деятельности – оно означает на греческом «измерение земли».
96
Andrew Robinson, The Story of Writing (London: Thames and Hudson, 1995), стр. 162–167.
97
Derry and Williams, A Short History of Technology, стр. 216.
98
Saint Augustine, De Genesi adLitteram (The Literal Meaning of Genesis), завершен в 415 г.
99
Morris Kline, Mathematics in Western Culture (Oxford: Oxford University Press, 1952), стр. 11.
100
«Can Young Infants Add and Subtract?», Child Development, 71 (ноябрь-декабрь, 2000), стр. 1525–1534.
101
Morris Kline, Mathematical Thought from the Ancient to Modern Times, т. 1 (Oxford: Oxford University Press, 1972), стр. 184–186, стр. 259–260.
102
Kline, Mathematical Thought, стр. 19–21.