Страница 3 из 13
Л. - Конечно, не мешают. И не все ли равно, идут ли до земли какие-то волны, отраженные какой-то космической катастрофой, один год или миллионы лет! Действительно это ни на чем не может отразиться, и в самом деле о Земле еще "долго будут говорить". Во времена Паскаля радиоастрономии не было, а то же чувство было: "le silence ternel de ces espaces infinis m'effraye", - я в этой знаменитой фразе без выводов не люблю последнего слова: оно снижает и музыку, и силу первых слов. Быть может, Декарт и не "боялся".
А. - Но это чувство, вероятно, ослабляло в нем уверенность в прочности научных теорий... Теперь пишут об "атомах времени", что сказал бы Кант? В наше время "вечность" физических теорий едва ли превышает двадцать лет. Люди - иногда почти наивно - стремятся к "корню вещей", и принцип экономии мысли, как в его настоящем, глубоком смысле, так и в вульгарно-позитивистическом ("об этом пока незачем думать", и т. д.) у большинства нынешних физиков отнюдь не в чести. Очень немногие из них требуют, как математик Эмиль Пикар, "возвращения к здравому смыслу", и совершенно неизвестно, правы ли они... Меня все это здесь интересует лишь из-за корней, идущих от Декарта и его аксиоматики.
Л. - Вы говорите об аксиомах так, точно они представляют собой вещь хрупкую, над которой надо сделать надпись "fragile", как на ящиках с севрским фарфором. Впрочем, если б это было и верно, то аксиомы действительно следовало бы кутать и беречь, - аксиомы во всех областях: в государственной жизни "перемена аксиом" может повлечь за собой потоки крови. Тогда пришлось бы, кстати, ввести и иерархию аксиом. Но, к счастью, все это не так. Есть вечные научные истины, есть факты, которые от человеческого сознания и не зависят. Северный полюс был фактом и до того, как его впервые увидел Пири. Внутренние явления человеческого глаза были фактом до того, как в живой глаз впервые в истории заглянул Гельмгольц при помощи изобретенного им зеркала. Точно так же есть и вечные аксиомы. Знаю заранее, что вы сошлетесь на не-эвклидовские геометрии, и такая ссылка будет неправильна: Лобачевский не отверг аксиом Эвклида, он лишь показал, что геометрию можно построить и на других аксиомах.
А. - Боюсь, что вы несколько смешиваете понятия. Но ваши слова и ваш пример лишь подтверждают то, что я сказал. В общежитии мы часто, в пояснение истин, говорим: "Это так же верно, как дважды два четыре". Многим ли, однако, известно, что Лейбниц именно стремился доказать это положение: "два плюс два составляют четыре"? А Анри Пуанкаре признал, что Лейбницево раcсуждение нельзя считать доказательством: в нем есть только проверка (verification), притом довольно бесплодная... Я лишь потому и позволяю себе - вероятно, к некоторому вашему удивлению - говорить о математических вопросах, что я немало занимался историей точных наук. Эта история, которой сами математики часто пренебрегают, в высшей степени поучительна. В ней же одна глава, история геометрии Лобачевского, точнее, история ее интерпретаций, пожалуй, самая поучительная из всех. Эту главу можно было бы разделить на несколько периодов: 1) Интерпретация первая: Лобачевский психопат. Не думайте, что я шучу. Другой большой русский математик Остроградский, в ту пору гораздо более известный, чем создатель "Воображаемой геометрии", после ее появления заявил, что ее автора надо посадить в дом умалишенных. Такому отзыву, быть может, способствовало то, что о Лобачевском в Казани ходили всякие анекдоты: у него было много причуд, он одевался как оборванец (какой-то иностранец, посетивший Казанский университет, принял его за сторожа и протянул ему на чай серебряную монету, чем привел его в бешенство). На высоту собственно его поставил коронованный король математиков Гаусс, который ознакомился с его работой через четырнадцать лет после ее появления. Конечно, в дом умалишенных Лобачевского не посадили: все-таки это был не двадцатый, а культурный девятнадцатый век. К тому же, правительство Николая I весьма мало интересовалось геометрией и не претендовало на ее понимание. Теперь у нас в России существует правительство, которое понимает геометрию, как и все другое, и очень ею интересуется, как и всем другим. При нем Лобачевского легко могли бы посадить в концентрационный лагерь. 2) Интерпретация вторая: воображаемая геометрия - очень интересный математический фокус. 3) Интерпретация третья: может быть, эвклидовский постулат о том, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым, верен лишь для не слишком больших треугольников, а при треугольниках гигантских или же, при более усовершенствованных методах измерения, прав не Эвклид, а Лобачевский, и сумма углов треугольника меньше двух прямых. 4) Интерпретация четвертая, после Бельтрами: геометрия Лобачевского "реальна" на псевдосфере. 5) Интерпретация нынешняя (после Анри Пуанкаре): спорить о том, верна ли геометрия Лобачевского (или же геометрия Эвклида) все равно, что спорить, "верна" ли метрическая система или же лучше в измерениях пользоваться футами и дюймами. Это сравнение, принадлежащее самому Пуанкаре(13), впрочем, едва ли очень удачно: метрическая система, почти везде заменившая прежние системы измерения, несомненно удобнее прежних. Здесь же новым словом была геометрия Лобачевского, в громадном большинстве случаев менее удобная, чем геометрия Эвклида.
Л. - Хронологическая ваша схема не совсем верна: вы не принимаете в расчет геометрию Римана с ее предположением, что сумма углов треугольника больше двух прямых. Эта геометрия (Феликс Клейн говорил даже о двух "возможных Римановских геометриях") очень способствовала успеху идеи русского геометра. Теперь Белл, вслед за Клиффордом, называет Лобачевского "Коперником геометрии"(14). Между ним и польским астрономом есть, однако, разница: кажется, никто больше не доказывает, что солнце вращается вокруг земли; между тем, по свидетельству Пуанкаре, и в настоящее время многие математики по-прежнему рассматривают воображаемую геометрию как логический курьез, а Французская Академия Наук еще и поныне каждый год получает работы, доказывающие постулат Эвклида.
А. - Я, действительно, несколько упрощаю хронологическую схему. Это отчасти связано с тем, что и у самого Эвклида вопрос об аксиомах не так уж прост. Сколько их он дал? Он с самого начала говорит о двенадцати аксиомах, но в некоторых дошедших до нас рукописях его труда одиннадцатая и двенадцатая находятся в перечне не аксиом, а вопросов(15). Едва ли можно сказать с уверенностью, что сам Эвклид считал свою аксиоматику единственной возможной. Недаром он был учеником Платона. Доказательство посредством "сведения к абсурду" было приемом Эвклида, и философская заслуга Лобачевского заключалась в попытке не признавать абсурдом того, что таковым казалось Эвклиду и за ним сотне поколений ученых. Теперь нам даже трудно себе представить всю необыкновенную смелость этой попытки: математики с тех пор ушли очень далеко, - не слишком ли далеко? Бертран Рессель, этот enfant terrible новейшей научной философии, будто бы сказал (я не нашел у него этих слов и цитирую не по первоисточнику): "Математика наука, где неизвестно, о чем идет речь, и неизвестно, верно ли то, что утверждается". Это, конечно, "бутада", - хотя без критики Ресселя и Уайтхеда теперь о смысле математических наук говорить было бы трудно. Известно ли вам, в каком положении находится математика сейчас? Белл, достаточно компетентный человек, пишет, что ее близкое будущее может предсказать "разве только пророк или седьмой сын пророка". Споры же новейших математиков и математических логиков и по тону иногда мало отличаются от политической полемики в газетах. Бруер говорил о "преступном поведении" своих критиков. Не решаюсь упоминать о новейших математических теориях, связанных с именем Бурбаки (я слышал, что это коллективный псевдоним группы математиков. Если это верно, то шутка довольно непонятная: до сих пор математика монмартрских шуток не знала). О них я, по недостаточности познаний, к сожалению, судить никак не могу: пытался читать Бурбаки - и просто ничего не понял. Но останемся в пределах той математики, которая все-таки успела стать и стала классической. Пеано показал, и Рессель это принимает(16), что вся теория чисел строится на трех первоначальных идеях (primitive ideas): о; number; successor (из которых, кстати сказать, одной - нуля - древние математики не знали, что не мешало некоторым из них быть великими математиками) и на пяти первоначальных предложениях (primitive propositions). Философский их анализ завел бы нас слишком далеко, но, вопреки Ресселю, скажу, что эти предложения, в частности, третье ("No two number have the same successor"), философского анализа не выдержат, не выдержат, разумеется, как положения единственные и обязательные: новый Лобачевский мог бы создать новую теорию чисел. Иду еще дальше. Гильберт произвел в геометрии еще более глубокую революцию, чем Лобачевский, Риман и Больяи. Он оказал огромную услугу и математике, и теории познания, и научной методологии, и философии вообще. Не знаю, был ли он кантианцем, да в пору Канта эти проблемы едва ли могли быть поставлены. Но эпиграфом к своей основной работе Гильберт взял слово из "Критики Чистого Разума": "Всякая человеческая наука начинается с интуиции, от них переходит к понятиям и кончается идеями". Настоящая геометрия "разъяснилась" только после его гениальных работ. Колерус правильно говорит, что Гильберт почти на вечные времена разъяснил сложнейший вопрос об основаниях геометрии, и называет его аксиоматику "одним из величайших шедевров всего 19-го столетия"(17). Выразим основную мысль Гильберта его собственными словами: его цель заключалась в том, чтобы "выяснить, какие именно аксиомы, гипотезы и средства необходимы для доказательства геометрических истин"(18). И, действительно, он объяснил или связал в одно целое структуру всех геометрий. Отбрасывая некоторые из аксиом, он получает из них любую. Математик, ему не сочувствующий, Племптон Ремсей, излагает учение Гильберта следующим образом: "Математика превращается в некоторый вид игры, ведущейся на бумаге при помощи ничего не значащих значков вроде нолей и крестиков... Поскольку каждый математик делает значки на бумаге, надо признать, что формалистическое учение содержит только правду; но трудно предположить, чтобы это была вся правда: ведь наш интерес в символической игре, конечно, происходит от возможности дать смысл по крайней мере некоторым из делаемых нами значков и от надежды, что после придачи им смысла они будут выражать знание, а не ошибку"(19). В этой критике видно огромное различие между таким человеком, как Гильберт, и математиком философски не одаренным (хотя, быть может, превосходным специалистом в своей области).